【摘 要】
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极大单调算子包含问题,作为非光滑凸优化KKT广义方程的推广,是优化领域中的一类重要问题,在统计、机器学习、信号与图像处理、经济等诸多领域中有广泛应用.在本论文中,我们提出一类求解极大单调算子包含问题的变尺度过松弛杂交邻近外梯度算法.与现有的杂交邻近外梯度（HPE）算法不同,该算法采用一类新的非精确系统来产生迭代点列,并通过在外梯度校正步中引入过松弛步长来改善算法的性能.特别地,这里的外梯度步步长和
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极大单调算子包含问题,作为非光滑凸优化KKT广义方程的推广,是优化领域中的一类重要问题,在统计、机器学习、信号与图像处理、经济等诸多领域中有广泛应用.在本论文中,我们提出一类求解极大单调算子包含问题的变尺度过松弛杂交邻近外梯度算法.与现有的杂交邻近外梯度（HPE）算法不同,该算法采用一类新的非精确系统来产生迭代点列,并通过在外梯度校正步中引入过松弛步长来改善算法的性能.特别地,这里的外梯度步步长和过松弛步长参数均可设置为固定参数,而无需像文献中的HPE算法那样通过计算投影问题来得到,从而可以节省额外的工作量.对所提出的变尺度过松弛HPE算法,我们建立了全局收敛性、O（1（?））逐点迭代复杂界和O（1/k）加权迭代复杂界,并在极大单调算子具有距离次正则性质下建立其局部线性收敛速率.据我们所知,极大单调算子的距离次正则性是当前保证这类包含问题具有线性收敛速率的最弱条件.本文的另一贡献是,提出了求解多块非光滑凸优化问题的原对偶三项算子分裂算法和校正majorized半邻近交替方向乘子法,并证明它们是变尺度过松弛HPE算法中尺度化算子取特殊形式的分块自伴随线性算子的特例.基于第三章的变尺度过松弛HPE算法的收敛性结果,我们得到了这两类变尺度原对偶多块分裂算法的全局收敛性、KKT系统残量的O（1/（?））逐点迭代复杂界和O（1/k）加权迭代复杂界,并且在该问题的KKT映射具有距离次正则性质下建立了其局部线性收敛速率.有趣的是,文献中的一大类原对偶算子分裂算法(如原对偶杂交梯度算法、Chambolle与Pock的原对偶算法[18,19]、Condat的原对偶分裂算法[24,53]均证明是原对偶三项算子分裂算法的特例.此外,我们也证实文献中的一大类原算子分裂算法（如过松弛Korpelevich外梯度算法,Spingarn类算子分裂算法、以及非cocoercive复合算子分裂算法）以及He的预估校正算法[50]均为文中的定尺度过松弛HPE算法的特例.这样,本文所提出的变尺度过松弛HPE算法不仅提供了理解这些算子分裂算法的新视角,而且还为它们提供了统一分析框架.最后,我们将一类特殊的变尺度原对偶分裂算法（校正半邻近交替方向乘子法）应用于求解带有线性等式和不等式约束的非负半正定规划问题,从数值上证实了该算法的有效性.数值结果表明,这类变尺度原对偶多块分裂算法与直接扩展的步长为1.618的交替方向乘子法以及ADMM3c[79]的效果相当.
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