囚禁外场中的冷原子的玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)实验和其它一些介观系统如原子核、分子、原子团簇和聚合物等实验观测,是小系统的“相变”研究的原形和平台。这些实验的实现和观测激起了人们对有限体系的临界现象的理论研究新的兴趣。特别是,BEC作为量子统计相变具有本身的物理意义和研究价值,它是可操控的凝聚态物理的试验平台。实验中的粒子数几乎确定并且有限,因此实际情况与传统的采用热力学极限处理的方法所遇情况完全不同。热力学极限下玻色气体的物理量诸如比热、凝聚比等在临界点出现锋锐的尖点或者不连续,但有限玻色体系的物理量在临界温度附近都不同程度地为圆滑曲线。虽然“不连续”相变只存在于热力学极限下,但是有限体系正如实验观测的会出现相变的先兆。本文主要是采用正则系综研究粒子数有限的理想和弱相互作用气体的热力学和统计性质,特别是在临界点邻域的性质。在第二章,我们分别指出了巨正则系综和正则系综讨论有限玻色体系的优势和缺陷,研究了囚禁于谐振子势的任意有限粒子数的理想玻色气体的热力学行为。通过考虑体系的总的粒子数N守恒和采用鞍点近似的方法,我们得出了处在任意态平均粒子占有数的解析表达式。本章做出了囚禁势中有限粒子数的玻色气体的化学势、比热和凝聚比与温度的关系曲线图并对其进行了分析。将本章的结果与采用传统的巨正则系综方法得到的结果一一对应比较发现,它们之间的区别在低温时明显,特别系统的粒子数较小时区别尤其明显。第三章用严格正则系综理论分别讨论了处在方盒子或者谐振子势中的粒子数有限的理想和弱相互作用玻色气体的热力学性质。当理想玻色气体处在周期或者狄利克雷(Dirichlet)边界条件的方盒子中时,我们利用严格的正则配分函数的递推关系式数值求出配分函数后,计算了一些物理量诸如化学势、比热、凝聚比、基态粒子数的均方根涨落和转变温度等,并对它们在不同的势阱下的值一一进行了比较。通过三种不同的转变温度定义,发现不同的定义得到的转变温度值的区别明显。但是,同一种定义下的转变温度值在狄利克雷边界条件比在周期性边界条件下要高,这就表明有限性效应在狄利克雷边界条件比在周期边界条件更明显。类似于理想气体的配分函数的递推关系的推导方法,我们利用博戈留玻夫(Bogliubov)理论首次推导了描述弱相互作用气体的正则配分函数递推关系式。基于正则系综配分函数的递推关系式,数值分析了不同粒子数和不同相互作用强度的玻色体系的凝聚比、比热和温度之间的关系。通过两种不同的转变温度的定义,我们分析了原子间相互作用、粒子数多少对转变温度值的影响。最后,分析了凝聚比的有限尺寸标度行为。结果表明,不同粒子数的体系的凝聚比遵从同一普适函数。第四章讨论了理想和弱相互作用玻色气体的临界行为。对于理想玻色气体,引入依赖于具体势阱的势阱指数θ后我们讨论了处在方盒子和谐振子势中的玻色气体的凝聚比和比热的势阱尺寸标度行为。当玻色气体处在周期或者狄利克雷边界条件的方盒子时,势阱指数θ→1,我们发现表征临界行为的标度函数是普适的但与边界有关。当玻色气体囚禁在谐振子势中时,发现粒子数大小不同的体系的比热和凝聚比分别遵从各自的普适函数,并且获得θ(?)0.157。对于弱相互作用玻色气体,我们采用正则系综理论分析了比热在临界点领域的有限尺寸标度行为,并且数值获得了比热和关联长度指数的值,它们分别和实验所测得数据和以前的理论分析值一致。当体系的相互作用强弱和粒子数密度确定时,粒子数和温度大小不同的比热遵从同一形式。根据标度理论,我们讨论了弱相互作用气体的临界温度Tc的相对于热力学极限下的理想玻色气体的临界温度Tc0的位移△Tc,并且得到(?)其中b=0.42±0.05。我们将本章的结果与方格子中的4He的实验数据以及理论值进行了比较和分析。第五章我们首先简单回顾了为何只有热力学极限下才会发生相变以及相变的分类方法,接着介绍了基于正则系综理论的有限体系的“相变”的分类方法。通过拓展刻画有限体系的复温度平面内的相变分类方法,将粒子数有限的处在不同边界条件的方盒子中的理想和弱相互作用玻色气体的相变进行了分类。结果表明,理想玻色气体的BEC在周期边界条件下为二级相变；当理想玻色气体处在狄利克雷边界条件时经历一级相变。对于处在周期性边界条件的方盒子的弱相互作用玻色气体,我们讨论了粒子数多少和原子间的相互作用强度对相变本质的影响。我们发现,有限粒子数的均匀弱相互作用的BEC为二级相变,这和无穷大系统的普适类性质一致。最后,我们讨论了粒子数大小和原子间弱相互作用的强度对有限玻色体系的转变温度的影响。第六章列出了有限体的量子统计理论需要进一步深入研究的课题。本论文的研究结果有助于深入了解有限量子体的各种统计性质与临界行为,也为开展与此相关的实验工作(包括费米有限体、团簇、等离子体和可操控的凝聚态物质)提供了有益的理论依据。