近年来，Banach空间几何理论得到了迅速的发展，到目前为止，一般Banach空间的凸性，光滑性，可微性，粗性，滴性，收敛性的研究相对来说已比较完善，但以某些已知凸性和光滑性为特例的某些k-凸性和k-光滑性还没有得到深入研究.1986年，俞鑫泰充分研究了光滑点和支撑函数的范数到w*的连续性及G可微的关系，2006年魏文展等引进k-G可微的概念，得到k-光滑空间的若干特征，但是专门讨论二次对偶空间X**的k-光滑性特征的文章尚未见到.1990年，南朝勋和王建华给出了k-严格凸空间的对偶概念--k-光滑空间，此后，刘证和曹温淳在k-光滑空间的基础上引入了k-非常光滑空间，得到了k-非常光滑空间的一些特征刻画，2002年，张子厚、苏雅拉图进一步研究了k-非常光滑空间，得到了k-非常光滑空间的另一些特征刻画.2001年冼军引入了k-极光滑空间的概念，但是这一类光滑性空间尚未得到深入研究，甚至这一类光滑性与其它光滑性之间的关系尚未弄清楚.本文主要进行了上述几种k-光滑性的研究，得到了较好的结果，全文共分为三章。 第一章：直接从X**为k-光滑的定义出发，并以局部自反原理为工具研究了X的二次对偶空间X**的k-光滑性，得到了X的二次对偶空间X**的k-光滑性的若干新特征，这些新特征是无法从一般Banach空间X的k-光滑性特征在特殊的Banach空间X**上的限制来得到的。 第二章：利用局部自反原理研究了k-非常光滑空间.得到X是k-非常光滑空间当且仅当对()∈S(X)，有dimSx=r≤k且x是X**的r-光滑点；并深入研究了Banach空间X的k-光滑性和k-非常光滑性，又得到了k-非常光滑空间得若干新特征。 第三章：深入研究了k-极光滑空间，得到了它的一些性质以及它与其它光滑性之间的关系.另外，还证明了：若X是弱局部k-一致凸空间，则对每个x∈S(X)，f∈Sx是X*的k-光滑点。