【摘 要】
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利用环中特殊元素的性质来研究环的性质与结构是环论研究中经久不衰的热点课题之一.对环赋予一个图结构,借助图的语言和工具研究环的性质则是近三十年来的一个热门交叉研究领域.本文主要研究环的单位图.设R是一个具有单位元的环,环R的单位图,记为G(R),它的顶点是R中的元素,两个不同的顶点x和y相连当且仅当x(10)y是环R的单位.在第一章,主要介绍了本文的研究背景,研究意义,以及本文涉及到的一些基本概念和
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利用环中特殊元素的性质来研究环的性质与结构是环论研究中经久不衰的热点课题之一.对环赋予一个图结构,借助图的语言和工具研究环的性质则是近三十年来的一个热门交叉研究领域.本文主要研究环的单位图.设R是一个具有单位元的环,环R的单位图,记为G(R),它的顶点是R中的元素,两个不同的顶点x和y相连当且仅当x(10)y是环R的单位.在第一章,主要介绍了本文的研究背景,研究意义,以及本文涉及到的一些基本概念和相关结论,并且概述了本文的主要结果.在第二章中,沿用了从特殊到一般的研究规律,我们研究了模n剩余类环的单位图.得到了当n的素因子不超过3个的情况下,模n剩余类环的单位图的控制数.基于第二章中的结果,我们在第三章中研究了有限交换环的单位图的控制数.完全确定了当有限交换环R的直和分解恰好是3项时,环R的单位图的控制数.第四章中,我们研究了有限交换环的单位图的Wiener-指数和hyper-Wiener指数.完全确定了有限交换环的单位图的Wiener-指数和hyper-Wiener指数.第五章研究了一般结合环的单位图的半径.证明了对于给定正整数n,总存在一个环R,使得G(R)的半径为n.同时证明了自内射环的单位图的半径是1,2,3和无穷大四种可能,并且利用半径这一个不变量对所有自内射环进行了分类.
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