论文部分内容阅读
本文首先对可解有限次单群进行了进一步深入的研究，使其结构和性质更加深入更加详细展现在我们面前。利用其结构，指出了非交换可解有限次单群必为质元群，从而利用质元群的性质，可以很容易地初步确定了可解有限次单群的阶中素因子之间所必须满足的条件，主要得到下面的一些结论：
定理1 G是非交换的可解有限次单群,则G′是G的唯一的非平凡正规子群,并且G′是初等交换p -群,此时| G |=p～n q,|G′|=p～n,(p≠q,p,q为素数)。
定理2 G是非交换的可解有限次单群,则G的真子群都是素幂阶群。具体来说,设| G |=p～nq,则G的真子群只能为初等交换p -群或素数阶q -群。
定理3设G是有正规p -子群的p～n q阶可解次单群，P是G的Sylowp -子群。则G=PQ,其中Q为q阶循环群，P - G,且G是以P为Frobenius核的Frobenius群。进一步,G有主因子q，p～n，n是p(modq)的指数。将上面定理2进行推广,即对任一真子群为p -群的有限群(以下简称IP-群)进行了研究,当IP -群是非p -群时,既是通常讲的内p -群。
这样利用内∑-群的结论和Hall定理,比较容易地确定IP -群的内部结构。随后利用IP -群的结构,重点来研究其性质,指出它与可解有限次单群、质元群之间的包含关系,并且将质元群中的两个重要性质推广到IP -群中。最后进一步削弱条件,推广IP -群,为今后的研究指明了道路和方向。主要研究方法为:反证法、分析法、极小反例法等。通过对IP -群的研究,得到下面的一些结论:
定理4 G是IP -群,则G的类别有:(1)G是p -群；(2) G=pq,(p，q是不同的素数);(3) G=p～n q，(n1,p,q为不同的素数)且G是次单群,G的Sylowp-子群是G的唯一非平凡正规子群并且是初等交换p -群。
定理5 G是IP -群的充分必要条件是G中阶互素且阶的乘积小于G任两个真子群不能交换相乘。
定理6 G是IP -群,则G中阶互素且非正规的两真子群的正规化子不相交。
定理7设有限群G有一个不等于自己的正规子群N，包含N的G的任意真子群所对应的商群都是p -群,即G|-=GN是IP -群。有限群G满??面条件当且仅当G′G。