本文主要研究了抛物型方程和Fisher-Kolmogorov方程的几种高阶紧差分算法。在大型工程问题计算中,高阶紧差分方法会产生数以千万的未知量,从而占用大量的计算时间。为了克服这一不足,本文采用Proper Orthogonal Decomposition(简记为POD)来对高阶紧差分格式进行降维优化和改进。这种基于POD方法的降维高阶紧差分方法不仅具有计算所需节点少、与谱方法相近的高分辨率和边界易处理等等一系列优点,而且还能极大的缩短计算时间,降低计算内存要求、减少CPU运行负担。数值算例说明数值计算结果与理论结果是吻合的,并且降维方法在保证精度的同时极大地节省了计算时间。这说明这种降维方法是有效的和可行的。全文分为五章,主要的内容如下:第一章,我们首先对偏微分方程作了简单的概述,并且简单的介绍了有限差分法的几种形式以及POD方法的背景知识和应用。第二章主要研究了抛物型方程的降维四阶紧差分格式。首先基于泰勒公式,我们给出了一维和二维抛物型方程的四阶紧差分格式详细推导步骤。然后,通过引入POD方法,我们得到了降维的紧差分格式和两种格式之间误差的估计公式,最后通过几组数值算例说明我们方法求解抛物型方程解的有效性。第三章,我们首先对抛物型方程的六阶紧差分格式作了详细的介绍。然后,我们将POD方法应用到抛物型方程的求解中去,建立了既能保证精度又能节省大量计算时间的降维六阶紧差分格式。随后借助分裂方法,该方法被成功推广到多维抛物型方程。第四章在第三章的基础上对其进行扩展、改进。将上述方法应用到扩展的Fisher-Kolmogorov方程上,Fisher-Kolmogorov方程形式比抛物型方程更为复杂,而且还具有混合导数,求解起来更具有难度。本章中给出了算法的详细步骤,最后用数值算例说明了该方法的高精度、高效率以及可行性。第五章主要是系统总结了整篇文章的主要工作和创新之处,并且给出了需要深入研究的内容,留待以后继续探讨。