本文主要讨论了黎曼球面Σ和双曲空间H 2上M?bius变换的一些性质和应用.我们称形如的变换T为Σ上的Mobius变换.Σ上的M?bius变换在复合的意义下形成一个群Aut (Σ),而其中形如的变换T在复合意义下构成的群Aut (Σ)(Aut (Σ)的二阶正规子群)是Σ的自同构,从而我们主要关心的是其群理论,比如Aut (Σ)的有限子群等,并且引入交比λ用来研究Aut (Σ)中映射的传递性质;我们也考虑了Mobius变换的一些几何性质(尤其是它们作用在Σ中的圆上的一些性质).双曲几何产生于19世纪上半叶,是人们尝试理解欧几里德几何公理化体系时形成的一种非欧几何.我们借助上半平面模型( H 2 = { x + iy : y>0})双曲空间H2中的Mobius变换,给出了H 2中的保向M?bius变换的刻画,考虑了它们的几何分类问题.我们都知道Σ中的Mobius变换将Σ中的圆仍然映射到圆.很自然的,我们会考虑将圆改为圆锥曲线时是否也有类似的结果.我们证明了C中中心在原点的椭圆在映射T ( z ) = 1/z_下的象不是椭圆.最后我们得到一个结论:如果两个非退化的圆锥曲线ε,ε’ M?bius等价,即存在M?bius变换T使得T(ε) =ε’,那么T是相似变换,从而在T的作用下他们的离心率保持不变.