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本文研究了保等价部分变换半群的变种半群上的正则性及格林关系，给出由部分变换半群的一个子集合生成给定子半群的充要条件和保等价变换半群的变种半群若干结果，本文共分三章，各章主要内容如下：
第一章主要研究了非空集合X上的保等价部分变换半群PE(X)的变种半群PE(X；θ)上的正则性、格林关系、正则元．主要结果如下：
定理1.1.7半群PE(X；θ)中的元f是幂等元当且仅当对每个y∈imf，有fθ(y)=y．
引理1.1.8若f是PE(X；θ)中的幂等元，则以下条件成立：
(1) im(θf)是π(f)的一个横截面，且对每个y∈im(θf)有θf(y)=y；
(2)θ|imf：imf→im(θf)是E*—保持的双射．
定理1.1.10设f，g∈PE(X；θ)，则(f，g)∈L当且仅当f=g或π(θf)=π(f)=π(g)=π(θg)且E(θf)=E(f)=E(g)=E(θg)．
定理1.2.1设f∈PE(X；θ)，则f是PE(X；θ)中的正则元当且仅当
(1)π(θf)=π(f)，E(θf)=E(f)；
(2)对每个A∈X/E，存在某个B∈X/E，使得A∩im(θf)()θfθ(B∩domθ)．
定理1.2.4设f，g是PE(X；θ)中的正则元，则以下结论成立：
(1)若π(f)=π(g)，贝π(θf)=π(f)=π(g)=π(θg)且E(θf)=E(f)=E(g)=E(θg)．
(2)若imf=img，则对每个A∈X/E，存在B，C∈X/E，使得f(A∩domf)()gθ(B∩domθ)，g(A∩domg)()fθ(C∩domθ)．
(3)令A=A∩imf，其中A∈X/E，则存在C∈X/E，使得A∩domθ∈fθ(C∩domθ)．
定理1.3.1 R(PE(X；θ))=R(PE(X))当且仅当θ是X上的E*—保持的双射．
定理1.3.2PE(X；θ)是正则半群当且仅当
(1)θ是X上的E*—保持的双射；
(2)E=△(X)或E=X×X．
定理1.4.3设f，g∈PE(X；θ)，则以下条件等价：
(1)(f，g)∈R；
(2)对每个A∈X/E，存在B，C∈X/E，使得f(A∩domf)()gθ(B∩domθ)，g(A∩domg)()fθ(C∩domθ)；
(3)存在E*θ—可容许的双射ψ：π(f)→π(g)，使得f*=g*ψ．
定理1.4.4假设f，g∈PE(X；θ)且f≠g，则以下条件等价：
(1)(f，g)∈L；
(2)π(θf)=π(f)=π(g)=π(θg)和E(θf)=E(f)=E(g)=E(θg)；
(3)存在E*—保持的双射φ：imf→img，使得g=φf，且θ|imf和θ|img是E*—保持的单射．
定理1.4.5设f，g∈PE(X；θ)，则以下条件等价：
(1)(f，g)∈H；
(2)π(θf)=π(f)=π(g)=πr(θg)和E(θf)=E(f)=E(g)=E(θg)且对每个A∈X/E，存在B，C∈X/E，使得f(A∩domf)∈gθ(B∩domθ)，g(A∩domg)()fθ(C∩domθ)．
定理1.4.6设f，g∈PE(X；θ)，则以下条件等价：
(1)(f，g)∈D；
(2)存在E*θ—可容许的双射ψ：π(f)→π(g)和E*—保持的双射φ：imf→img，使得φf*=g*ψ且θ|imf和θ|img是E*—保持的单射．
第二章主要对部分变换半群P(Xn)的一个子集合生成的若干种给定类型子半群进行了刻划．主要结果如下：
定理2.2.1设Q为P(Xn)的非空子集，且U—＜Ω＞．则U是左零半群当且仅当对所有α，β∈Ω，kerα=kerβ且α2=α．
定理2.2.2设Q为P(Xn)的非空子集，且U=＜Ω＞．则U是右零半群当且仅当对所有α，β∈Ω，imα=imβ且α2=α．
定理2.2.4设Ω为P(Xn)的非空子集，α1，…，αn∈Ω，且有
(1)imαi=imαj，其中i，j=1，2，…，n，且i≠j；
(2)αi|imαi；是置换，其中i=1，2，…，n；
(3) kerαi=kerαj，其中i，j=1，2，…，n，且i≠j．则im(α1…αn)=iman且ker(α1…αn)=kerα1.
定理2.2.5设Ω为P(Xn)的非空子集，且U=＜Ω＞．则U是群当且仅当对所有α，β∈Ω，有
(1) imα=imβ且α|imα是置换；
(2) kerα=kerβ．
定理2.2.7设U是P(Xn)的子半群，则U是完全单的当且仅当U中所有元有相同的秩．
定理2.2.8设Ω为P(Xn)的非空子集，且U=＜Ω＞．则U是完全单的当且仅当对所有α，β∈Ω，imα是由kerβ决定的分划的横截集．
定理2.2.9P(Xn)的子半群U是完全正则的当且仅当对所有α∈U，有rankα2=rankα．
定理2.2.10设Ω为P(Xn)的非空子集，且U=＜Ω＞．则U是完全正则的当且仅当对所有α∈U，Coneu(imα)构成kerα决定的分划的部分横截集．
定理2.2.11设U是P(Xn)的正则子半群，I∈Ims(U)和K∈Kers(U)且满足I是由K决定的分划的横截集，则存在幂等元E∈U，使得img=I和kerε=K．
定理2.2.12设U是正则半群，则U是逆半群当且仅当|Ims(U)|=|Kers(U)|且对每个I∈Ims(U)，存在唯一的K∈Kers(U)，使得I是由K决定的分划的横截集，
定理2.2.13设Ω为P(Xn)的非空子集，且U=＜Ω＞．则U是Clifford半群当且仅当对所有α，β∈Ω有：
(1)α|imα是置换；
(2)αeβ=eβα．
第三章给出半群TE(X；θ)是纯正半群、左群、右群的充要条件，主要结果如下：
定理3.2.1 E(TE(X；θ))是TE(X；θ)的子半群当且仅当对任意的f，g∈E(TE(X；θ))和对每个y∈fθg(X)，有fθgθ(y)=y．
推论3.2.2半群TE(X；θ)是纯正的当且仅当以下三条成立：
(1)θ是X上的E*—保持的双射；
(2)E=△(X)或E=X×X；
(3)对任意f，g∈E(TE(X；θ))和对每个y∈fθg(X)，有fθgθ(y)=y．
定理3.2.3 E(TE(X；θ))是TE(X；θ)的左零子半群当且仅当对任意的f，g∈E(TE(X；θ))，有π(f)=π(g)．
推论3.2.4半群TE(X；θ)是左群当且仅当以下三条成立：
(1)θ是X上的E*—保持的双射；
(2) E=△(X)或E=X×X；
(3)对任意f，g∈E(TE(X；θ))，有π(f)=π(g)．
定理3.2.5 E(TE(X；θ))是TE(X；θ)的右零子半群当且仅当对任意的f，g∈E(TE(X；θ))，有f(X)=g(X)．
推论3.2.6半群TE(X；θ)是右群当且仅当以下三条成立：
(1)θ是X上的E*—保持的双射；
(2)E=△(X)或E=X×X；
(3)对任意f，g∈E(TE(X；θ))，有f(X)=g(X)。