分数阶微积分是针对任意阶微分和积分进行的一项理论研究,是在整数阶微积分的基础上延伸与拓展而来的.相对于传统整数阶微积分来说,分数阶微积分对于复杂系统的特性描述更加清楚、准确,建立数学模型更具灵活性.随着分数阶微积分在生物医学、混沌学、流变学、光学、经济学等领域的广泛应用,数学研究者对从现实问题中抽象出来的分数阶微分方程的定性研究表现出了极大地兴趣,如:初值问题和边值问题解的存在性、唯一性、稳定性、振动性等等.这些理论研究高效率地解决了现实世界中的复杂问题.因此,分数阶微积分的理论研究对解决众多领域的实际问题具有重要的现实意义.近些年来,在对分数阶微积分的理论研究中发现,积分不等式(如:Opial型不等式,Gronwall型不等式,Lyapunov型不等式,Cauchy-Schwarz型不等式等)在微分方程解的定性及定量性质研究过程中是不可或缺的,尤其是在探讨解的存在性,渐近性态以及解的估计等问题中.因此,对于各种类型的积分不等式的应用研究已经成为众多学者探究的热门课题.本文主要研究了 Modified Riemann-Liouville型分数阶微分方程解的振动性质,Opial不等式在Conformable分数阶微积分上的应用以及其离散形式的推广,下面分为四章进行阐述.第一章概述了分数阶微积分理论和Opial型不等式的研究现状,并给出了本文研究所需的相关定义及引理.第二章讨论了具有Modified Riemann-Liouville型分数阶导数的非线性中立型分数阶微分方程解的振动性,形式如下Dtα[a(t)Dtα(x(t)+ p(t)x(Υ(t))]+f(t,x(σ(t)))= 0,t ≥ t0>0,0<α<1.通过变量替换将分数阶微分转化为整数阶微分,再利用降阶法、Riccati变换以及一系列推导得到上述方程振动的充分条件.第三章研究了 Opial型不等式在Conformable分数阶微积分上的应用,运用相关的引理和代数不等式,推理分析得到几种推广的Opial不等式.第四章讨论了 Opial型不等式的离散形式,运用Holder不等式及相关代数不等式,对Opial型不等式的离散形式进行了推广.