这篇论文的主要结果是关于基本超几何级数的一些进展，包括基本超几何级数恒等式关于q-Gosper算法的机器证明，一些已知等式的有限形式，以及四个经典基本超几何级数公式关于q-调和级数的等式。 在第一章中，我们给出了基本超几何级数的背景，并介绍了本论文中用到的定义和记号。同时，我们还介绍了一些重要的经典基本超几何级数恒等式。 在第二章中，我们引进了一种基于q-Gosper算法证明基本超几何级数恒等式的系统方法。先从已知等式中得出一个迭代关系式，然后利用q-Gosper算法计算产生Gosper对(gk，hk)。这一步可以看作是对迭代关系式的验证。最后，我们利用这个迭代关系式通过计算某个极限值来证明原始的等式。事实上，一旦Gosper对给定，我们就可以计算相应的Abel对。一般来说，这种方法对于证明很多带参数的经典和式都是非常有效的，其中包括很多著名的双边和单边和式。 在第三章中，我们介绍了曾被Cauchy [33]用来给出Jacobi三重积恒等式第二个证明的一种方法。这种方法可以利用有限单边级数等式得到双边级数等式。我们称这种方法为Cauchy方法。这种经典的方法被很多数学家采用，比如 Bailey[24，Secs.3 and 6]，[25](也可参考Slater[95，Sec.6.2])，Schlosser[90]， Jouhet and Setllosser[67]。在文章[90]中，Schlosser给出一个猜想：任何双边级数等式都可以利用Cauchy方法从适当选取的有限级数等式中得到(作为一个极限，而不是利用解析延拓)。在这一章，我们给出了一些关于Cauchy方法已有的结果，同时主要利用改进的Cauchy方法从有限单边级数和式来得到很多双边级数和式。同时，我们可以计算得到一些双边基本超几何级数恒等式具有独立上下界和式的有限形式。 在第四章中，我们将微分算子方法应用到四个典型的基本超几何级数公式中得到大量的q-调和级数等式。尤其我们详细的检验了q-Chu-Vandermonde等式，q-Pfaff-Saalschütz等式，g-Dougall-Dixon等式和Watsons g-Whipple变换。 这些结果覆盖了关于这四个基本等式关于q-调和级数的所有等式。这里我们简要阐述方法：将等式变为q二项式等式，利用微分算子D<,o>，并通过重设参数化简为q-调和级数等式。同时，我们也研究了在计算中主要依赖的有限q-调和级数和式的极限关系。最后，我们在附录中给出一些经典基本超几何级数的和式和变换公式。