风险理论为保险公司资金注入、股东分红等经营策略的制定提供了技术保障，提高了保险公司的经营能力和市场竞争力。Gerber,H.U.和Shiu,E.S.W利用期望折现罚函数(又名Gerber-Shiu函数)研究了常见的风险测度问题，他们为风险理论的研究揭开了崭新的一页，而期望折现罚函数也逐渐成为研究破产理论的标准工具。之后，很多学者利用拉普拉斯逆变换、鞅理论、更新理论等方法给出了特殊情况下风险测度的准确表达式。但在实际生活中，保险公司对于索赔的分布信息未知，因此，利用非参数方法研究期望折现罚函数的估计问题具有十分重要的意义。
　　本文我们将利用Laguerre级数展开方法研究期望折现罚函数的估计问题。我们分别研究了经典风险模型、带扰动的风险模型、带随机收入的风险模型和纯跳Lévy风险模型中期望折现罚函数的Laguerre级数展开问题。利用期望折现罚函数所满足的更新方程，我们验证了期望折现罚函数为平方可积函数，从而可以用Laguerre级数对期望折现罚函数进行展开，利用Laguerre级数对更新方程进行展开，比较方程两边Laguerre基的系数，可以得到Laguerre级数的系数满足的线性方程组。为了计算方便，我们将方程组写成矩阵形式，验证了系数矩阵为下三角型的可逆的Toeplitz矩阵，从而可以得到期望折现罚函数的Laguerre级数的系数。为了计算方便，对无穷级数进行截断，可以得到期望折现罚函数的近似值。进一步，利用盈余过程的观测数据得到期望折现罚函数的估计值。对于不同的风险模型，我们利用?2-范数验证了误差的收敛速度。利用Sobolev-Laguerre空间，我们给出了级数截断误差的收敛速度。利用Markov不等式、洛必达法则等工具研究了估计误差的收敛速度，最终得到Laguerre级数展开方法的误差收敛速度。我们选取最优的截断系数，发现误差的收敛速度最优可以达到Op(T-1/2)。通过对比现有论文中不同模型下非参数估计方法的误差收敛速度，我们发现Laguerre级数展开方法具有更快的收敛速度。在经典风险模型中，我们研究了利息力为0时Laguerre级数展开方法估计的渐近正态性。通过大量数值实验，验证了Laguerre级数展开方法的估计在有限样本情况下的效果。利用平均值曲线、平均相对误差曲线、积分均方误差(IMSE)等指标说明了Laguerre级数展开方法的效果随着观测区间的变大而变好。通过与Fourier-Sinc级数展开方法和快速傅里叶变换方法对比，说明了Laguerre级数展开方法的优越性。
　　通过分析我们发现Laguerre级数展开方法克服了现有非参数方法(拉普拉斯逆变换方法、快速傅里叶变换方法、Fourier-Sinc级数展开方法等)计算复杂度大，收敛速度慢等缺点。同时，Laguerre级数展开方法在风险理论的研究中具有普遍适应性，能达到很好的近似效果，具有计算简单、收敛速度快等优点。