论文部分内容阅读
预投射代数是由Gelfand和Ponomarev在研究不含定向圈的有限箭图的表示理论时提出的一类重要的代数，它在代数表示理论、数学物理、微分几何、非交换代数等领域都起着十分重要的作用.近些年来对(形变)预投射代数的研究取得了丰硕的研究成果，但对(形变)预投射代数的表示还知之甚少.本学位论文主要考虑(形变)预投射代数的扭群代数的表示及其相关的一些问题。 首先，我们考虑了(形变)预投射代数的扭群代数ПλQG上模的提升问题，即如何将(形变)预投射代数ПλQ上的模提升为一个ПλQG-模.对此我们考虑了一般的路代数的商代数Λ=kQ/I的情形.我们得到任意扭群代数ΛG上的模作为箭图Q的表示都是G-不变的.但反之不一定成立，在假设成立的前提下，我们准确地给出一个G-不变的Λ-模可以赋予多少种ΛG-模结构.特别地，应用到形变预投射代数的扭群代数，我们将Crawley-Boevey和Holland在形变预投射代数上定义的反射函子提升到对应的扭群代数上，得到了一些等价函子。 其次，我们考虑(形变)预投射代数的扭群代数的整个模范畴.对于任意双箭图Q及扭群代数(kQ)G，我们都可以定义一个双群形ΓG，使得(KQ)G-mod等价于ΓG的表示范畴，并且(kQ)G-mod中满足形变预投射关系的满子范畴等价于所有满足对应形变预投射关系的ΓG的表示组成的范畴.另一方面，由Demonet的工作可知，存在(kQ，G)的广义McKay箭图QG使得(kQ)G-mod等价于kQG-mod。在此基础上我们证明了满足形变预投射关系的ΓG的表示组成的范畴等价于kQG-mod中满足对应形变预投射关系的满子范畴.进而证明了形变预投射代数的扭群代数还是Morita等价于一个形变预投射代数。 对于给定的扭群代数(kQ)G，我们可以得到一个赋值图Γ和一个广义McKay箭图QG.最后，我们考虑Γ和QG的根系及对应的Kac-Moody代数之间的关系.利用(kQ)G-mod与kQG-mod之间的等价函子，我们可以得到一个Γ和QG的根系之间的映射h：△QG→△Γ.当群G是交换群时，我们证明了广义McKay箭图具有对偶性，即可以定义群G在箭图QG上的一种作用，使得(kQG，G)的广义McKay箭图为Q.利用这种对偶性，我们证明了h是一个满射.特别地，对于Γ的正实根，它在h下的原像的个数是可以确定的.此外，我们还将G在QG上的作用提升到QG对应的李代数g上，通过构造Γ的Cartan矩阵的实现，证明了Γ对应的Kac-Moody代数g(Γ)可以嵌入到g的固定点子代数中。