论文部分内容阅读
p-Laplacian频繁地出现在非牛顿流体问题以及非线性弹性问题等物理现象中，但由于其非线性性，这个看似简单的算子的特征值结构并没有完全被了解。本文以带变号权函数和带变号势函数的一维p-Laplacian为基本模型，系统地阐述了特征值的旋转数方法、带正权Dirichlet特征值的最佳估计、特征值在正则和奇异渐近半线性方程的可解性中的应用、Fucik谱的旋转数方法以及Fucik谱在周期解的扭转性和多解性中的应用。
本文的主要创新点和结论包括：1.对带变号权函数的一维p-Laplacian，通过引进旋转数函数给出了四列周期和反周期特征值，它们恰为使旋转数取到非负整数的原象区间的端点。但其反问题与带势函数及高维情形的p-Laplacian类似，即尚不清楚这四列特征值是否完全刻画了所有的周期和反周期特征值。这从一个侧面反映了p-Laplacian的周期特征值这个11/2自由度的问题比p-Laplacian的Dirichlet特征值问题要复杂。2.对带正权函数的p-Laplacian的Dirichlet特征值问题，在已知权函数的最大密度和总质量的前提下，给出了所有阶特征值的最佳上、下界估计。3.应用特征值理论给出并用拓扑度方法证明了正则和奇异渐近半线性系统的“最佳”非共振条件。其中，对正则系统，利用正齐次全连续紧算子族的性质，将问题归结到一系列初等估计，这在以往的文献中没有见过。而对奇异系统，通过研究其大振幅周期解的极限状态，给出了合理的非共振条件，排除了这些大振幅周期解的存在性。这一非共振条件指出奇异情形下周期与反周期特征值在周期解的存在性问题中起同等作用。这一问题在p=2时与2×2椭圆型辛矩阵的分类有关。4.阐述了p-Laplacian的Fucik谱的旋转数方法，结合Poincaré-Birkhoff定理，对渐近跳跃半线性系统用Fucik谱的形式给出了具有给定振荡性质的周期解的多解性的充分条件。