本文主要研究三个数学物理中的非线性问题,即n维二次曲面上的代数测地线的精确构造,微扰KdV方程和微扰Burgers方程的大范围渐近解和变形Bossinesq方程所有单行波解的分类。在第一章和第二章利用Hamilton-Jacobi方法研究n维二次曲面上的测地线问题。首先,得到了三维二次曲面上测地线的代数表达式,该测地线是两个二维曲面的交线,然后利用隐函数定理和数值的方法,证明了这些测地线是真实存在的。最后,将上述结果推广到n维,得到n维二次曲面上的测地线的精确代数表达式,并利用隐函数定理证明了这些测地线的存在性。第三章中,将重整化群方法应用于两个流体力学中的著名方程,即微扰KdV方程和微扰Burgers方程,得到了大范围一致有效渐进解。我们的方法是利用Kunihiro的基于微分几何中包络理论的重整化群方法,去消除近似解中的久期项,使其在无穷远处收敛,进而得到大范围渐近解。最后一章,利用多项式完全判别系统来研究变形Bossinesq方程精确解问题。首先利用行波变换,将方程化成积分形式,通过讨论根与系数的关系,将方程的解进行分类,得到了Bossinesq方程的所有单行波解。