云杉蚜虫是美国和加拿大东部云杉-冷杉混合林中最具破坏力的昆虫之一,其周期性爆发会造成巨大的森林财产损失。在北美,为研究预防和控制云杉蚜虫灾害每年均耗资巨大,因此,建立适当的数学模型并详尽研究其动力学性质,可以对云杉蚜虫灾害爆发的预防控制提供必要的理论基础,具有非常重要的理论和实践意义。本文主要研究了几类具有时滞和扩散的云杉蚜虫模型的稳定性和分支,主要研究的是全局Hopf分支和Turing-Hopf分支。通过全局Hopf分支的研究得到了周期解的大范围存在性,揭示了云杉蚜虫种群总是周期性爆发的内在原因;通过Turing-Hopf分支的研究得到了稳定空间非齐次周期解的存在性,揭示了云杉蚜虫种群周期性爆发具有空间不均匀性的内在原因。主要工作如下:(一)针对具有扩散和年龄结构的云杉蚜虫单种群模型,在空间一维和齐次Neumann边界条件下研究了成熟时滞对系统动力学的影响。得到了非负常稳态解的存在性和零稳态解的稳定性(包括全局稳定性)。通过特征方程根的分布研究了正稳态解的稳定性和局部Hopf分支的存在性,并通过偏泛函微分方程的中心流形约化和规范型方法得到了Hopf分支的方向和分支周期解的稳定性。利用偏泛函微分方程的全局Hopf分支理论得到了具有扩散和年龄结构的云杉蚜虫单种群模型全局Hopf分支的存在性。最后,通过数值算例说明了理论分析的结果,解释了当天敌鸟类种群为常量时,云杉蚜虫总是周期性爆发的原因。(二)针对具有扩散和年龄结构的云杉蚜虫和鸟类种群模型,在空间一维和齐次Neumann边界条件下研究了成熟时滞对系统动力学的影响。得到了非负常稳态解的存在性和所有边界稳态解的稳定性(包括全局稳定性)。通过特征方程根的分布得到了正稳态解的稳定性和局部Hopf分支的存在性,并通过偏泛函微分方程的中心流形约化和规范型方法得到了Hopf分支的方向和分支周期解的稳定性。利用偏泛函微分方程的全局Hopf分支理论得到了具有扩散和年龄结构的云杉蚜虫和鸟类种群模型全局Hopf分支的存在性。最后,通过数值算例说明了理论分析的结果,解释了当云杉蚜虫和天敌鸟类种群存在相互影响时,云杉蚜虫总是周期性爆发的原因。(三)在空间一维和齐次Neumann边界条件下,通过特征方程根的分布研究了一般两变量反应扩散系统的Turing-Hopf分支存在性问题。将上述研究成果用于一类修改的Leslie-Gower扩散模型,得到了系统正稳态解的稳定性和Turing-Hopf分支的存在性。利用反应扩散方程的中心流形约化和规范型方法,计算了Leslie-Gower扩散模型Turing-Hopf分支的规范型。最后,将上述Leslie-Gower扩散模型的一种特例模型(即云杉蚜虫和鸟类种群扩散模型)作为数值算例,通过数值模拟说明了理论分析的结果,得到了双参数平面内系统Turing-Hopf分支点附近区域的拓扑等价分类和稳定空间非齐次周期解的存在性,解释了云杉蚜虫周期性爆发具有空间不均匀性的原因。