本论文主要研究Sobolev空间????(???)中的多小波框架、多小波采样定理以及特殊的Sobolev空间??2(???)中的小波框架、多小波等,其中??≥1 .第一章简要介绍小波分析的发展史以及国内外的研究现状.第二章给出一些基本概念以及本文主要用到的记号.第三章研究(????(???),?????(???))中的?? -对偶多小波框架,其中??∈?+ ,??是可对角化的伸缩矩阵.系统研究了(????(???),?????(???))中多小波框架的Bessel性质. ????(???)中的多小波框架不要求具有消失矩,另外, ?????(???)中多小波框架具有Bessel性质所需的条件与此空间中的小波框架不同,因为该性质不仅与框架函数本身有关而且与加细函数向量有关.基于一类满足Bessel性质的加细函数向量,构造出(????(???),?????(???))中的?? -对偶多小波框架.传统的小波(或多小波)采样定理仅适用于小波(或多小波)子空间中的信号.假设??2(?)中的某连续信号??不属于任何的小波(或多小波)子空间,或者难以判断它是否属于某个子空间,那么传统的采样定理将失效.基于第三章的理论,第四章构造一类特殊的对偶多小波框架,并由此导出Sobolev空间????(?)中的多小波采样定理, ?? > 1/2 .对于??2(?)中的连续信号,运用此采样定理均可精确重构.第五章给出加细函数向量逼近阶的快速提升算法,以及给出对称正交多小波的参数化构造. (I)两尺度相似变换(TST)是一种提升加细函数向量逼近阶的重要方法.然而每次实施TST,只能提升一阶逼近阶.本章所提供的算法能一次提升逼近阶到任意指定的整数.进一步地,它还能够保持加细函数向量的对称性. (II)对称性和正交性是多小波的两个十分重要的性质.给出一类仿酉对称矩阵的构造算法,基于仿酉对称矩阵和已有的对称正交多小波,可以得到含参数的对称正交多小波.恰当选择参数可得到具有优良性质的多小波,比如对称Armlets.第六章的主要工作是给出??2(???)中的小波框架的构造算法. (I)给出??2(???)中的不可分对偶小波框架的显式构造.利用张量方法,能十分容易地构造高维可分的小波、小波框架.然而,可分的小波、小波框架在应用上有些缺陷,特别地,在图像处理中,会留下较明显的人为痕迹.本章基于??2(???1)中的对偶?? -小波框架和??2(???2)中的对偶?? -小波框架,给出??2(???)中的对偶Ω-小波框架的构造,其中?? = ??1 + ??2 ,Ω=[??Θ?? ??],Θ和???1Θ均为整数矩阵.另外,还给出了小波框架的正则性提升格式和对称化算法. (II)给出??2(???)中的对称正交小波框架的显式构造.从??2(???)的对称正交小波框架出发,基于Han的投影算法,显式构造出??2(???)中的对称正交小波框架, ??≤?? .