【摘 要】
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非线性发展方程及其解是描述物理和工程等众多学科领域中出现的非线性现象的重要数学模型.本文分别对变系数耦合非线性薛定谔方程,修正的正则长波方程和随机KdV方程这三个具有广泛应用背景的方程进行研究,利用改进的sine-Gordon方程展开法和有限差分法来求得它们的精确解或数值解,并实现数值仿真.第一章,介绍了本文的研究背景与意义,阐述了三个重要方程的研究现状以及本文的主要工作及安排.第二章,阐述了本文
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非线性发展方程及其解是描述物理和工程等众多学科领域中出现的非线性现象的重要数学模型.本文分别对变系数耦合非线性薛定谔方程,修正的正则长波方程和随机KdV方程这三个具有广泛应用背景的方程进行研究,利用改进的sine-Gordon方程展开法和有限差分法来求得它们的精确解或数值解,并实现数值仿真.第一章,介绍了本文的研究背景与意义,阐述了三个重要方程的研究现状以及本文的主要工作及安排.第二章,阐述了本文拟采用的方法以及布朗运动的一些预备知识.第三章,基于变系数耦合非线性薛定谔方程,我们利用改进的sine-Gordon方程展开法得到了方程新的孤立波解,在此基础上模拟分析群速度色散项系数变化时孤立波解的形状变化,并将所得结果可视化.第四章,利用直线法研究了修正的正则长波方程,通过三个数值实验:单孤立波的传播,两个孤立波相互作用以及Maxwellian初始条件产生的孤立波,并计算误差范数L2,L∞以及守恒量I1,I2和I3,将所得到的数值结果与精确解以及一些文献中的结果进行比较.第五章,基于随机KdV方程,首先,对时间方向的离散使用一阶向前差分格式,空间方向的离散使用中心差分格式,噪声项使用离散的布朗运动.然后,将所描述的差分格式产生的数值解与已知的精确解进行模拟比较,进而讨论不同强度的噪声对孤立波解的影响.最后,对本文研究内容的总结和展望.
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