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在半群代数理论的发展过程中，同余起着越来越重要的作用．很多时候，为了要研究某一类半群，我们常常通过研究其上的同余，由此获得它的内部结构及其同态像的知识．特别地，利用其上的同余格的性质，由此获得更多的结构相对简单的半群类．无论如何，同余在半群的结构中占有核心地位，对同余的有效处理可以为研究正则半群的结构提供一个很重要的途径．
对正则半群上的同余的研究的一个有效的方法是核迹方法．设s是正则半群，对s上任一同余ρ，kerp={α∈s|（()e∈E(S))ape}，trρ=ρ|E(s)分别是ρ的核和迹．核迹方法的核心是任何同余ρ都可以由核kerρ和迹trρ唯一确定，同时又为同余格C(S)定义了新的关系K和T．ρKσ←→kerρ=kerσ，ρTσ←→trp=trσ．
关系K和T满足K∩T=∈εC(S)(C(S)上的相等关系)．这两个关系从C(S)的分解上获得有用的信息．以ρK和ρK(ρT和ρt)分别表示在S上与ρ有相同核(迹)的最大元和最小元．由此得到C(S)上的四个算子，记为K,k,T,t．记Г={K,k,T,t)，由Г生成的自由半群和自由幺半群分别记为Г+和Г*，那么ρ的同余网就是ρГ*={ρ，ρK,ρk,ρT,ρt,ρKt,ρTk,…}所形成的同余网．对于正则半群S，记K,k,T和t在C(S)上生成的算子半群记为Г(S)．
本文主要讨论了同态像是E-酉的E-酉正则半群的TK算子半群的具体形式，以及对一个固定的同余ρ，ρГ*所形成的C(S)的子格的结构．再给出了几类特殊的同态像是E-酉的E-酉正则半群的算子半群的形式．
根据B.R.Alimpic和D.N.Krgovic在文献[10]中对E-酉半群和E-酉同余的等价刻画得出了关于同态像足E-酉的E-酉正则半群的一系列引理，得到自由半群Г+所满足的关系∑．根据我们得到的关系∑，给出了半群Г+/∑*的元素表示．从而得到本文的第一个主要结论，对于同态像是E-酉的E-酉正则半群S，由算子K,k,T和t生成的半群Г(S)是17个元素的半群Г+/∑*的同态像．
根据获得的商半群Г+/∑*，给定一个同余对(N,ξ)，将Г+/∑*∪{1}中的元素作用在(N,ξ)上，可以得到十八个同余对．由这些同余对对应的正规子集和正规等价关系分别形成Lk格和Lt格．在这些工作的基础上，给出了本文的第二个主要结论，给定一个同态像是E-酉的E-酉正则半群，对其上的任意同余ρ，给出同余网ρГ*的图示的形式和其结构，以及由ρ的局部同余网ρГ*的17个元素生成的同余子格，有LГ≌L(N,ξ)，L(N,ξ)=Cs(S)∩(Lk×Lt)．这个同余子格共有54个元素，元素之间的包含关系和(∧，∨)运算都很清楚地给出来了．这些结果有效地刻划了同余格C(S)的结构．
最后，讨论同态像足E-酉的E-酉带同余自由正则半群、基本正则半群、Cryptogroup半群和Clifford半群这几类特殊子类的算子半群和同余格．