随着科学技术的不断发展，人们越来越认识到自然界中的一些非线性现象的重要性。相对于线性现象，非线性现象的性质更为复杂和难以捉摸，人们对此一度畏之如虎。直到最近几十年来，构成非线性科学的三大分支，孤立子、混沌和分形理论得到了迅速发展，才使人们对非线性科学有了更为清楚的认识，并且已经设立了专门的科技期刊来介绍它们的最新研究进展。作为非线性科学中一个非常重要的组成部分，孤立子理论在上世纪六十年代真正形成并成为一个非常活跃和富有吸引力的研究领域。尽管孤立子理论尚处于年轻时期，但是它在数学、生物、大气海洋学及物理学的许多领域都有非常重要的应用。越来越多的数学家和理论物理学家从事孤立子理论的研究，已经取得了许多非常重要和有意义的研究成果。作为一门还很年轻的学科，孤立子理论有着良好的发展前景。 由于孤立子理论的研究对象主要是低维或者高维的非线性偏微分方程，所以如何求解这些非线性偏微分方程就成为一个相当困难的问题。因为对线性系统有效的求解方法一般不适用于非线性偏微分系统，因此人们不得不寻求其它独特的方法来求解非线性偏微分方程。这些方法包括反散射方法、对称约化方法、Backlund变换、Hirota双线性法、非线性化方法、Painlevé截断展开法、齐次平衡法以及达布变换法等。然而，这些方法都只是对某些或者某类非线性偏微分方程适用，并不具有普遍性。正是由于非线性系统本身的复杂性，使得发现或者提出一个对所有非线性偏微分系统都适用的方法是不现实的，也是不可能的。我们知道分离变量法是研究线性系统的强有力的工具之一。近十多年来，几种不同形式的分离变量法在各自的适用领域都得到了迅速发展。比如，由曹策问教授提出的对非线性系统的Lax对进行非线性化，或者称之为对称约束法(程艺、李翊神、曾云波等)以及形式分离变量法(楼森岳、陈黎丽等)；另外一种方法是基于一般条件对称的泛函分离变量法(RZZhdanov、屈长征、张顺利等)以及最近得到蓬勃发展的由楼森岳、陆继宗、唐晓艳等建立的多线性分离变量法。利用多线性分离变量Ⅰ法可以得到许多2+1维非线性系统的包含两个变量分离函数的严格解的一个普适公式。从这个普适公式出发，可以得到非常丰富的局域激发模式。 达布变换法是另外一个构造孤子方程解的有力工具，国内外的许多学者在从事达布变换法的研究并且取得了一系列有意义的研究成果。一般来说，达布变换有两种不同的形式，有着不同的适用范围。一种是初等达布变换，对Lax对包含谱参数的非线性系统适用。另外一种称为二元达布变换，一般适用于Lax对不含谱参数的非线性偏微分方程。在本文中，我们所研究的非线性系统都不显含谱参数，因此必须引进二元达布变换来研究系统的具体性质。而构造二元达布变换的一个关键点就是如何确定闭的1-形式。这个闭的1-形式之所以难以建立在于我们找不到一般的构造方法来寻求一个普适的形式对所有的非线性系统都有效，成功与否在很大程度上依赖于作者的技巧性和经验性。 近十多年来，楼森岳教授和他的研究小组在对一大类非线性系统的分离变量法方面作了大量的研究工作，取得了丰富的研究成果。他们研究了很多高维可积非线性模型以及不可积模型，给出了用一个简洁的普适公式来表示严格解的统一表达式。这些模型包括色散长波方程，非对称的Nizhnik-Novikov-Veselov系统，sine-Gordon模型，DS方程以及不可积KdV模型等。既然多线性分离变量法可以得到包含两个变量分离函数的严格解，并且得到了非常丰富的局域激发模式，那么，一个自然的问题就是，如果我们是否可以采用其它传统的求解方法来得到类似于多线性分离变量法的结果呢?本学位论文的前半部分内容很好地回答了这个问题。 本学位论文主要解决了下述几个由多线性分离变量解引出的更为深入的几个重要问题： 1.一般说来，多线性分离变量解的求得一般要借助于一个先验假设。由此我们解决的第一个问题是如何用孤子理论中传统的求解方法来系统地得到多线性分离变量解而不需要先验的假设? 2.多线性分离变量解通常只包含两个变量分离函数而线性分离变量法容许任意多个变量分离解的线性叠加。因此，如何将多线性分离变量解推广至可以包含任意多个的变量分离函数成为一个非常重要和有意义的问题。 -Ⅱ-3.多线性分离变量解的丰富性来自于任意函数的进入，但这种方法通常仅适用于可积模型。而实际物理模型大多是不可积模型。一个自然的问题就是我们如何寻找不可积系统的包含任意函数的分离变量解呢? 由于达布变换方法仅适用于可积模型，并且传统的达布变换无法得到包含任意函数的严格解。而多线性分离变量法得到的严格解的任意性和丰富性来自于任意函数的进入，因此如何在不可积系统的严格解的表达式中找到类似的丰富性和任意性是一件非常困难的事。幸运的是，在本论文中，我们成功地将形变映射理论进行推广得到了不可积模型的包含任意函数的严格解。一个φ4模型和sine-Gordon或双sine-Gordon模型间的形变映射关系在文献[J.Math.Phys.30(1989)1614]中是已知的。在此基础上，我们进一步发展了形变映射方法，建立了两个或多个φ4场和sine-Gordon或双sine-Gordon场之间的形变映射关系。从这些形变映射关系出发，我们构造了高维sine-Gordon和双sine-Gordon模型的用Jacobi椭圆函数表示的严格解。得到了不可积sine-Gordon或者双sine-Gordon模型的一些近似周期波解、周期波-solitoff解、周期波-kink解、周期波-周期波解、周期波-拟周期波解等等。我们对所谓的拟周期解从几个特殊的方向上和平面上分析其特有的性质，给出了具体详尽的理论分析和阐述。 本学位论文的创新点：(1).发展和结合达布变换方法和多线性分离变量法来构造一些2+1维非线性可积系统的包含任意个变量分离函数的严格解。传统意义的达布变换无法得到包含任意函数的严格解，而多线性分离变量法只能得到两个变量分离函数的严格解。我们结合这两种方法求得了非线性系统的包含任意多个变量分离函数的严格解。 (2).研究了一些2+1维非线性可积系统新的孤子解的新相互作用过程及其性质。 (3).从两个方面推广了形变映射理论：(a).建立了多个φ4场和sine-Gordon以及双sine-Gordon场之间的形变映射关系；(b).建立了变系数的φ4场和sine-Gordon以及双sine-Gordon场之间的形变映射关系，从而得到了这些不可积模型的包含任意函数的严格解。 (4).构造了不可积系统的丰富的局域解和周期解，如多solitoff解及其周期波推广，周期形变的蛇形孤波解以及变模的拟周期解等。