【摘 要】
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本文主要研究几类奇异扰动的椭圆型偏微分方程.本文共分为四章:在第一章中,我们将对本文研究问题的背景和国内外关于奇异扰动椭圆型偏微分方程的研究现状进行概述,并简要介绍本文的主要工作以及相关的预备知识和一些记号.在第二章中,我们首先考虑下列Kirchhoff型问题:-（a+b∫RN |▽u|2）Δu=（1+εK（x））u2*-1,u>0,x∈RN;其中a,b>0是给定常数,ε>0是小参数,2*=2N（
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本文主要研究几类奇异扰动的椭圆型偏微分方程.本文共分为四章:在第一章中,我们将对本文研究问题的背景和国内外关于奇异扰动椭圆型偏微分方程的研究现状进行概述,并简要介绍本文的主要工作以及相关的预备知识和一些记号.在第二章中,我们首先考虑下列Kirchhoff型问题:-（a+b∫RN |▽u|2）Δu=（1+εK（x））u2*-1,u>0,x∈RN;其中a,b>0是给定常数,ε>0是小参数,2*=2N（N ≥ 3）.我们证明,如果K（x）具有k个临界点,且K（x）在这些临界点附近满足一定的展开假设,则利用Lyapunov-Schmidt约化方法,在ε>0充分小时构造集中在K（x）的k个临界点处的多峰解·此结果推广了 Cao et al.[Calc.Var.Partial Differential Equations,15,（2002）403-419]关于Schr（?）dinger方程多峰解的存在性结果.特别地,对于N≥ 5,我们可以得到一对多峰解,这与Schr（?）dinger方程有着很大的不同.在第三章中,我们考虑下列非线性椭圆型问题:-ε2Δu+ωV（x）u=up+u2*-1,u>0,x ∈ RN,其中ω ∈ R+,N≥3,p ∈（1,2*-1）,2*=2N/N-1,ε>0是小参数,V（x）是给定函数.在适当的假设下,我们利用Lyapunov-Schmidt约化方法证明出,在ε充分小时,上述问题存在集中在势能函数V（x）的局部极小值点处的多峰解.更进一步,我们将运用局部Pohozaev恒等式证明该多峰解的局部唯一性.在第四章中,我们研究下列分数阶Schr（?）dinger-Poisson系统:其中s ∈（3/4,1）,t ∈（0,1）,ε是小参数,2s*=6/3-2s是Sobolev临界指数.K（x）∈L6/2t+4s-3（R3）,V（x）∈L3/2s（R3）,并且在R3的某些区域中V（x）=0,这意味着该问题是临界频率的情形.根据分数阶Sobolev空间的全局紧性引理和Leusternik-Schnirelman临界点定理,我们证明出该问题束缚态解的多重性.此结果改进了Zhang et al.[Nonlinear Anal.190（2020）,111599,15 pp]关于分数 Schr（?）dinger 方程的结果.
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