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在这篇文章中我们主要考虑如下一维空间中的四阶抛物方程组柯西问题整体解的存在性,大时间行为和L1时间衰减速率.
pt-pxx+ε2(p((√p)xx/√p)x)x+(pφx)x=0,t>0,nt-nxx+ε2(n((√n)xx/√n)x)x-(nφx)x=0,t>0,φxx=p-n, t>0, (0.1)(p,n)(x,0)=(p0,n0)(x), x∈R,p0(±∞)=n0(±∞)=p>0.
令E=∫x-∞(p-n)dξ,E0=∫x-∞(P0-n0)dξ,我们证明了以下主要结果：
定理1.若P0>0,n0>0,(P0-p,n0-p∈H3(R)xH3(R),∫x-∞(p0-p)dy∈H4(R)∫x-∞(n0-p)dy∈H4(R),E0∈H2(R),且‖p0-p‖H3(R)+‖n0-p‖H3(R)+‖E0‖H2(R)充分小,则初值问题(0.1)有唯一的整体强解(p,n),并且满足P-p,n-p∈L∞(0,+∞；H3(R))∩L2(0,+∞；H5(R)), (0.2)以及‖аkx(p-p)(t)‖2+‖аkx(n-P)(t)‖2≤C(1+t)-1/2(1+k),t→+∞,k=0,1,2,3,(0.3)‖аjxE(t)‖22≤Ce-2pt, t→+∞,j=0,1,2. (0.4)定理2.在定理1的假设下,若初始值还满足p0-p,n0-p∈L1(R)以及∫R(P0-p)dx=0,Iβ(p0-p)∈L1(R),β∈(0,1), (0.5)∫R(n0-p)dx=0,Iβ(n0-p)∈L1(R),β∈(0,1), (0.6)其中Iβ是Riesz位势算子,满足IβF(x)=C∫R｜x-y｜β-1F(y)dy,则初值问题(0.1)的整体解在L1范数下,有如下的大时间衰减速率‖(p-p)(t)‖1+ ‖(n-p)(t)‖1≤C(1+t)-β/2,t→+∞,β∈(0,1),(0.7)‖E(t)‖L1≤Ce-1/2pt. (0.8)注0.1本文采用的分析方法可以推广到高维空间的情形.