【摘 要】
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回复运动是动力系统的重要研究课题,在研究动力系统稳定性讨论中占有重要地位.回复性的相关概念非常之多,如:周期性、概周期性、几乎自守性、Birkhoff回复性、Poisson稳定性、仿射周期等等.关于微分方程周期解存在性的最早结果可以追溯到Ⅰ.Newton对于开普勒第一定律的证明.自微分方程定性理论建立之后,随着周期解研究重要性的提升以及对各类周期现象的深入研究,人们发现了许多近似周期的自然规律.现
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回复运动是动力系统的重要研究课题,在研究动力系统稳定性讨论中占有重要地位.回复性的相关概念非常之多,如:周期性、概周期性、几乎自守性、Birkhoff回复性、Poisson稳定性、仿射周期等等.关于微分方程周期解存在性的最早结果可以追溯到Ⅰ.Newton对于开普勒第一定律的证明.自微分方程定性理论建立之后,随着周期解研究重要性的提升以及对各类周期现象的深入研究,人们发现了许多近似周期的自然规律.现有的微分方程定性理论的研究主要围绕这几种不同形式的回复性展开.在非线性动力系统中,当系统参数发生变化时,可能经过分岔进入无序的混沌状态.混沌不是完全的“混乱”,在貌似无序的状态中存在一定的规律,是无序和有序的统一,是确定性和随机性的统一.混沌现象的发现,使人们认识到客观事物的运动不仅是定常、周期或几乎周期的运动,而且还存在着一种具有更为普遍意义的形式,即无序的混沌.众所周知,动力系统的混沌行为与同宿轨道或异宿轨道的存在性密切相关.同宿轨道或异宿轨道是自然界中普遍存在的非线性现象.在许多情况下,混沌动力学行为是由双曲周期轨道的稳定流形和不稳定流形之间的横截相交引起的.Smale-Birkhoff同宿定理为这类混沌动力学提供了一种机制.Melnikov方法是一种基本的分析研究方法,它给出了一个Smale马蹄变换意义下的混沌判据.本篇博士论文中我们考虑了一类回复（几乎自守、Birkhoff回复、Poisson稳定、仿射周期）扰动后系统回复解的存在性和动力学行为.本论文的主要内容和结构安排如下:第一章为绪论,主要简单回顾了动力系统回复运动和混沌理论的发展,介绍了回复运动和混沌的发展背景,混沌的定义和判定方法.第二章为预备知识,具体给出了回复运动、指数二分、Poincaré映射、Melnikov方法、Smale马蹄、以及符号动力系统的相关概念和一些主要的性质,另外给出了主要引用的相关引理.第三章我们主要分四个部分来描述我们的主要研究工作,第一部分我们主要应用指数二分理论和泛函分析的方法研究了当未扰动系统具有一个同宿轨时,（几乎自守、Birkhoff回复、Poisson稳定）扰动后系统的弱回复解的存在性;第二部分我们应用相同方法给出了异宿情形下弱回复（几乎自守、Birkhoff回复、Poisson稳定）扰动下系统的弱回复解的存在性;第三部分主要应用拓扑马蹄理论讨论了当未扰动系统具有一个同宿轨时,系统在扰动后解的动力学行为,证明了存在一个双曲不变集,在其上动力学行为半共轭于无穷符号的移位;最后给出了相应的伪轨跟踪性引理.第四章我们应用指数二分理论和Banach不动点定理给出了仿射周期扰动下仿射周期解的存在性.
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