【摘 要】
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本文主要研究高阶Schr?dinger方程的逆散射问题.首先我们利用构造复几何光学解的方法证明了高阶Schr?dinger方程逆散射问题的唯一性结果,进一步,我们证明了散射矩阵的部分信息也能局部唯一的确定位势,即反向逆散射问题的局部唯一性,并且我们改进了二阶Schr?dinger方程反向逆散射问题中位势的条件.本文总共由五章构成.第一章介绍Schr?dinger方程以及逆散射问题的物理数学背景,并
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本文主要研究高阶Schr?dinger方程的逆散射问题.首先我们利用构造复几何光学解的方法证明了高阶Schr?dinger方程逆散射问题的唯一性结果,进一步,我们证明了散射矩阵的部分信息也能局部唯一的确定位势,即反向逆散射问题的局部唯一性,并且我们改进了二阶Schr?dinger方程反向逆散射问题中位势的条件.本文总共由五章构成.第一章介绍Schr?dinger方程以及逆散射问题的物理数学背景,并介绍了二阶逆散射问题的发展历史及研究现状,然后我们给出本文的主要研究内容.第二章讨论了带一阶扰动位势的高阶Schr?dinger方程的逆散射问题,我们的方法建立在预解式的渐进展开式与散射矩阵之间的联系上.在位势具有指数衰减的条件下,我们对高阶Schr?dinger算子的预解式及预解式的导数作渐进展开,再构造Poisson算子,并利用预解式的渐进展式及其与散射矩阵之间的联系我们建立了位势与散射矩阵之间的关系式,最后我们构造高阶Schr?dinger方程的复几何光学解并带入位势与散射矩阵之间关系式,从而可以证明散射矩阵唯一确定位势.第三章考虑具有非紧支位势的二阶Schr?dinger方程的反向逆散射问题,证明了具有适当衰减条件的位势可由反向散射振幅局部唯一确定;并且对于高阶Schr?dinger方程,我们在适当条件下也证明了相应的结果.第四章考虑高阶Schr?dinger方程的Strichartz估计,推广了二阶情形的部分已知结果.第五章主要是对本论文的总结并讨论进一步可研究的内容.
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