论文部分内容阅读
本文考虑了以下问题：多解的存在性．其中λ>0是一个给定的常数，Ω ? R是有光滑边界的有界区域，p=N+4/N-4是关于嵌入H<2><,0>(Ω)→L(Ω)的临界指标，H<2><,0>(Ω)=W<2,2><,0>(Ω)是标准的Sobolev空间，其等价范数为‖△u‖<,L<2>,△<2>=△△是N维二重拉斯算子．
对问题(1)感兴趣是因为其对应的能量泛函失去紧性，从而导致了很多有趣的存在性和非存在性结果．易知如果λ<0，Ω是星形区域，问题(1)就没有非平凡解(见文献[9])．如果λ∈(0，λ<,1>(N))，N≥8，其中λ<,1>(N)是算子△<2>在H<2><,0>(Ω)中的第一特征值，可以证明问题(1)至少有一个非平凡解．当N=5，6，7时，我们可以找到两个常数λ<"**>(N)和λ<*>(N)满足使得如果λ∈(λ<*>(N)，λ<,1>(N))，问题(1)至少有一个非平凡解，并且如果Ω是一个球，λ∈(0，λ<**>(N))，则问题(1)没有解(见文献[8])．
称N是下面边值问题，的临界维数，如果存在一个正常数Λ>0，使得当Ω=B<,R>(0)时，问题(2)有非平凡径向解的必要条件是λ>Λ，其中N>2m，m是自然数，λ是实数，s=N=2m/N-2m是Sobolev临界指数．
近年来问题(2)倍受人们关注．由于临界指标，当Ω=B<,R>(0)时，如果λ≥0，问题(2)的非平凡解可能存在并且这还与维数N有关． m=1的情况已经被Breize和Nirengberg在文献[2]中研究过． Pucci和Serrin在他们的文章[10]中猜测当Ω=B<,R>(0)时，边值问题(2)的临界维数是N=2m+1,…，4m-1．本文的思路是先通过分析次临界方程的解序列得到了△<2>u=uu+λu的第二个解．再讨论当区域Ω=B<,R>(0)时，利用特殊区域Green函数的一些性质，得到了问题(1)正解和变号解的存在性.