对非线性数学期望下概率与统计相关问题的研究,一方面是概率论基础理论研究的发展趋势,另一方面源于人们对于金融市场中日益增长的不确定性问题的探索。20世纪70年代,现代意义的金融衍生品在美国诞生,日益增加的衍生品交易额在为市场机构带来巨大的利润的同时,也蕴藏了极大的风险。如何采用适当的方法来评估、管理和控制来自衍生品交易的内在风险显得尤为重要,金融市场风险度量已成为全球经济学家与数学家研究的重点领域。一个非常具有挑战性的问题是,金融衍生品的风险行为是非线性的,经典概率论中对于概率和期望的线性假设已经难以刻画风险行为的次线性本质。许多专家因此引入了非线性期望的概念来度量不确定性。比如Peng (1997)通过倒向随机微分方程引入了一种重要的非线性期望g-期望,用来度量概率不确定性模型的随机性和风险,可参见 Chen 和 Epstein (2002), Frittelli 和 Gianin (2004), Peng(2004)。Artzner, Delbaen, Eber和Heath (1999)引入了一致风险度量的概念,即将金融衍生品的未来不确定性看作一个随机变量X,将其风险度量看作赋予在随机变量X上的一个次线性泛函ρ[X],本质上就是次线性数学期望。因此,次线性期望提供了衡量不确定性损失X的一种稳健性方法。在g-期望的基础上,Peng (2007)进一步引入了一个更加一般的次线性期望框架一-G-期望。在G-期望框架下,Peng引入了 G-正态分布、G-期望和G-布朗运动的概念,后两者可视为对Wiener测度和经典的布朗运动在非线性下的推广。Peng证明了非线性期望的理论基础(次线性期望下的大数定律和中心极限定理),并建立了 G-Ito随机积分,可参见Peng (2007, 2008, 2009, 2010)。基于Peng的开创性工作,许多学者进行了相应的推广,例如,Chen (2010),Chen, Wu和Li (2013)等研究了强大数定律,这些结果是对Peng (2007, 2008)中“弱”大数定律的推广,Denis, Hu和Peng (2011)研究了 G-期望的表示定理和轨道性质,Li和Peng (2011)对停时和一般的G-Ito公式进行了研究,Gao (2009),Peng (2010),Lin (2013)研究了 G-布朗运动驱动的随机微分方程(以下简称G-SDE,或G-随机微分方程)的解的相关性质,更多内容可参见Xu和 Zhang (2009),Hu 和 Peng (2009),Gao 和 Jiang (2010),Hu 和 Zhang (2010),Song(2012),Nutz (2013),Nutz 和 Van Handel (2013),Hu,Ji,Peng 和 Song (2014),Peng 和Song (2015), Zhang 和 Chen (2015),Hu, Wang 和 Zheng (2016)等。受到以上内容的启发,本篇博士论文进行了部分研究工作,主要内容包括:1.首次提出了在不确定性环境下,计算贝叶斯后验分布最大期望与最小期望的一种新方法——PSI方法,创新性地引入辅助性的超先验分布并将不确定性因素参数化,从而将方法广泛地应用于多种不确定性情形下。2.研究了 G-随机微分方程解的渐近估计,得到了次线性期望空间下G-随机微分方程解的重对数估计,且给出了一类多维G-随机微分方程解的渐近估计并推广到更一般的形式。3.对G-随机微分方程解的相关性质进行深入研究,分别探讨了一阶和二阶G-随机微分方程解的有界性与平稳性,给出了有界性与平稳性的充分条件并举出相应的例证。4.进一步研究G-期望空间的相关性质,将Lyapunov定理从经典的单一线性概率情形推广到了 G-期望下一族概率测度的情形,给出了 G-随机微分方程的解在容度意义下的平稳性。下面我们来介绍一下每章的工作,这些结果是由我在博士期间完成的五篇论文整合而成的,其中两篇已在SCI期刊正式发表,其余三篇已送审。第一章本章给出了不确定性环境下,计算贝叶斯后验分布最大期望与最小期望的一种新方法——PSI方法,可将诸如先验分布或者似然函数选择的多种不确定性考虑在内,将不确定性都通过不确定性指标进行参数化,且在这个指标参数的基础上创新性地引入辅助性的超先验分布,运用Metropolis算法生成Monte Carlo样本,并对后验分布的最大期望与最小期望进行估计。本章最大的贡献就是对于所有可能的不确定性场景,都只需要进行一次Monte Carlo抽样来计算后验分布期望,从而大大减少了传统分析法中繁琐的运算量。· 1.1 PSI算法及理论支持我们提出的算法有三个步骤(记做PSI):1. (Prior Step)引入参数λ的辅助性超先验分布π(λ),其中参数λ代表不确定性。2. (Sampling Step)对于任意目标参数X,利用MCMC方法,从给定观测样本数据条件下的联合后验分布中进行(X,λ)的样本抽样:注意到在很多时候,目标参数X = F(θ, λ)可能是标量函数,其中θ是模型中生成数据的结构参数。在更一般的情形下,我们可以将Sampling Step拆分为下面两个步骤:(1)利用MCMC方法从(θ,λ)的联合后验分布中抽样,其中θ是数据生成过程中的结构参数。(2)对于任意目标参数X = F(θ,λ),可计算相应的后验分布的(X,λ)样本。3. (Inference Step)基于(X,λ)的后验样本,我们可以估计后验分布期望的范围以及相应的其他任意后验分布分位数的范围。本节我们给出了 PSI算法的理论依据。命题0.1说明,从联合分布中抽样出的MCMC样本的模拟计算值,是后验分布期望的一致相合估计。命题0.1.令目标条件后验分布函数为其中λ ∈ λ。假设π(·)是满足(H)的辅助性先验分布函数:(H)对于所有的λ ∈ A,密度函数π(λ) > 0。令是从下面的联合后验分布中导出的条件分布函数则有(i)对于所有的X,以及所有的λ∈∧,π(X丨λ,D)=(X|D,λ)。(ii)令为目标后验分布最大期望。则对于满足(H)条件的任意辅助性先验密度函数π(λ),都有(iii)令S知=Xt,λt)t∈T为Monte Corlo样本。μ(λ｜ST)是μ(λ)=,E(X｜D，λ)的一致相合估计,对于任意的则supμ(λ|ST)是后验分布最大期望的一致相合估计:即对于任意大于零的,· 1.2多种不确定性环境下的数值分析我们将算法推广到应用层面,给出了先验分布不确定、模型选择不确定以及数据不确定等不确定性环境下计算后验分布最大期望与最小期望的数值分析,详细的案例分析请参见正文部分。我们采用模拟数据,分别利用局部加权回归散点平滑法(locally weighted scatterplot smoothing,简记为 lowess)以及Metropolis-Hastings 抽样算法完成贝叶斯推断分析。所有程序均使用R语言编程实现。第二章我们在本章中研究G-随机微分方程的解的渐近估计,给出了次线性期望空间下G-随机微分方程解的重对数估计,以及一类多维G-随机微分方程解的渐近估计并推广到了更一般的形式。我们考虑由m维G-布朗运动驱动的d维随机微分方程其中1≤ i ，j ≤ m,初始值Xt0=X0∈Rd 其中Bt是m维的G-布朗运动。假设方程的系数f,hi和gij满足相应条件,从而使得方程在[t0,∞)上有一个唯一的解Xt。定理0.1.假设存在两个大于零的常数λ和η使得,对于所有的(x,t)∈ Rd[t0,∞),有.则方程(0.0.2)的解有如下性质· 2.1 G-随机微分方程解的重对数估计接下来,我们考虑方程(0.0.2)的一个特殊形式,即其中1 ≤ i,j ≤ m,初始值Xt0= ∈ Rd,∧i是给定的矩阵∧ ∈ Rd×m的第i列。定理0.2.假设存在一对大于零的常数ρ1,ρ2使得对于所有的(x,t) ∈ Rd ×[t0,∞),对某些ε > 0以及所有的t ≥ t0,δ > 0,方程(0.0.5)的解满足则有性质注记0.1.众所周知,在经典线性概率空间下,重对数律(LIL)是最重要的极限定理之Chen和Hu (2014)给出了非线性期望下的重对数律,与经典情形下收敛到一个固定点不同的是,非线性期望下的重对数律是收敛到一个区间,即:其中v是相应的Choquet容度。因此定理0.2可被看做非线性条件下G-随机微分方程解的重对数估计。· 2.2多维G-随机微分方程解的渐近估计定理0.3.假设存在三个大于零的常数γ, ρ1和ρ2,使得对于所有的(x，t)∈Rd× t ∞),且对于某些ε > 0和所有的t≥t0 随机微分方程(0.0.5)的解满足则方程的解存在性质注记0.2.值得注意的是,定理0.3的结论是独立于ρ1,ρ2和∧的。事实上,由(0.0.9)可推出当t足够大时,对于几乎所有的ω∈Ω,因此可得定理0.4.假设存在三个大于零的常数γ, Pi和ρ2,使得对于所有的(x,t)∈Rd× [t0,∞),有对于某些ε > 0以及所有的t ≥ t0, δ > 0,随机微分方程(0.0.5)的解满足则它的解有如下性质:注记0.3.事实上,只要f和gij线性增长,定理0.2-0.4中的G-Novikov条件就都满足。在这种情况下,只要系数h(x,t)是有界的,上述的结论都可以适用于随机微分方程(0.0.2)。更具体的说,如果存在一个G > 0使得对于所有的(x,t)∈Rd ×[t0,∞)成立,则定理0.3-0.4的结论对于随机微分方程(0.0.2)也依然成立,相应的(0.0.7)和(0.0.13)中的｜｜A｜｜应该替换为C。第三章本章的工作分为两大部分,第一部分在次线性期望下,研究一阶G-随机微分方程解的有界性与平稳性,并给出相应的例证。第二部分,对二阶G-随机微分方程解的有界性与平稳性进行研究,并给出相应的有界性与平稳性的充分条件。· 3.1 一阶G-随机微分方程解的有界性与平稳性记C(R+;R+)为非负域下的连续函数族。令C1,2(Rd× R+;R+)为定义在Rd × R+上的非负函数族V(x,t),关于x二阶连续可导且关于t连续可导。现在我们考虑以下由m维G-布朗运动驱动的d维随机微分方程初始值Xt0= x0 ∈ Rd,≥ 0。(Bi,Bj>=(<Bi,Bj>)i,j=1,…,m是B的交互变差矩阵。在C1,2(Rd×R+;R+)上定义一个算子L,如下所示我们做以下假设:(H1)系数f,gi,hij:Rd × [0, ∞) →Rd是关于t连续且关于x满足局部Lipschitz条件的确定性函数,即对于每个x,x’∈B0(R):={a:｜a｜ ≤R},存在在一大于零的且仅依赖于R的常数CR,使得对于每个t ∈ [0, ∞),(H2)存在一个 Lyapunov 函数V∈C1,2 (Rd×[0,∞);R+),满足以及一个函数δ∈C(E+;]R+),使得对于某些常数C > 0和所有(x.t) ∈ Rd× [0, ∞),有定理0.5.满足(H1)和(H2)时,G-随机微分方程(0.0.14)存在一个唯一的解。定理0.6.假设C1,2(Rd×R+;R+)气妒× R+;R+)上存在一个函数V(x,t),使得对于所有的(x,t)∈常数。则对于所有的t ≥ tO,(0.0.14)的所有解满足定理0.7.假设存在C1,2(Rd× R+;R+)中的函数V(x,t),使得对于所有的(x,t) ∈Rd × R+,满足其中α,η ∈ C(R+;R+),w,v,q是大于零的常数,w ≥ 1,且ρ是一个非负的常数。则对于所有的t≥t0,(0.0.14)的所有解满足定理0.8.假设存在C1,2(Rd×R+;R+)中的函数V(x,t),对于所有的(x,t) ∈Rd×R+,有其中α,η∈C(R+;R+),w,v是大于零的常数,w＞1,ρ是一个非负的常数。则对于所有的t ≥ t0,(0.0.14)的所有解满足定理0.9. 1.若定理0.6或定理0.7的假设成立,且存在大于零的常数M,使得则(0.0.14)所有的解都是一致随机有界的。2.若定理0.7的假设成立,且满足条件(0.0.27),则(0.0.14)所有的解都是随机有界的。定理0.10.假设f(0,t) = 0, g(0,t)= 0和h(0,t) = 0。存在大于零的常数M,使得1.如果定理0.5的假设成立,则(0.0.14)的零解在G-期望下是α-指数渐近平稳的且m = 1/w。2.如果定理0.7的假设成立,则(0.0.14)的零解在G-期望下是α-一致指数渐近平稳的且m = 1/w。· 3.2二阶G-随机微分方程解的有界性与平稳性· 3.2.1 关于时间的二阶G-随机微分方程考虑G-随机微分方程其中α和β是大于零的常数。函数g在R2上连续,且满足局部Lipschitz条件,从而可保证(0.0.30)存在一个唯一连续解,记作X=(xt,yt)。定义连续可微函数V(X,t)=V(xt,yt,t)如下其中α,β是大于零的常数。我们现在来研究G-随机微分方程(0.0.30)解的有关性质。定理0.11.假设L,K和C是大于零的常数,满足存在大于零的常数D0=D0(α,β) = 和D1=D1(α,β) 使得对于所有的t ≥ 0, x和y成立。则随机微分方程(0.0.30)的解Xt=(xt,yt)是一致随机有界的。定理0.12.如果定理0.11的假设成立,则随机微分方程(0.0.30)的解Xt =(xt,yt)是随机有界的。定理0.13.如果定理0.11的假设成立。不妨假设存在大于零的常数M,使得则随机微分方程(0.0.30)的平凡解在G-期望下是α-指数渐近平稳的且m = 1/w。定理0.14.如果定理0.11的假设成立。不妨假设存在大于零的常数M,使得则随机微分方程(0.0.30)的平凡解在G-期望下是α-一致指数渐近平稳的且有m = 1/w。·3.2.2关于二次变差过程的二阶G-随机微分方程考虑下面的G-随机微分方程其中α和β是大于零的常数。函数g在R2上连续,且满足局部Lipschitz条件,从而可保证(0.0.37)存在一个唯一连续解,记作X= (xt,yt) 需要指出的是,与线性期望空间下不同,G-期望空间下G-布朗运动的二次变差过程为(B)t,与t不同。因此我们对关于二次变差过程的G-随机微分方程进行了研究。沿用前一节的连续可微函数V(X,t)=V(xt,yt.t),我们研究了 G-随机微分方程(0.0.37)解的性质。定理0.15.假设L,K(和C是大于零的常数,使得存在大于零的常数D0= D0(α,β),D1=D1(α,β),使得对于所有t ≥ 0, x和y成立。随机微分方程(0.0.37)的解Xt = (xt,yt)是一致随机有界的。定理0.16.如果定理0.15的假设成立,则随机微分方程(0.0.37)的解Xt=(xt,yt)的解是随机有界的。定理0.17.如果定理0.15的假设成立。存在大于零的常数M,使得则随机微分方程(0.0.37)的平凡解在G-期望下是α-指数渐近平稳的且有m =1/w。定理0.18.如果定理0.15的假设成立。假定存在大于零的常数M,使得则随机微分方程(0.0.37)的平凡解在G-期望下是α-一致指数渐近平稳的且有m = 1/w。第四章本章进一步研究G-期望空间的相关性质,将Lyapunov定理从经典的单一线性概率情形推广到了 G-期望下一族概率测度的情形,给出了 G-随机微分方程的解在容度意义下的平稳性。定理0.19.考虑下列G-随机微分方程初始值Xt0=x0。若存在正定函数V(x,t)∈ e C1,2(Sn× [0,∞))使得对任意的(x,t) ∈S× [0, ∞),有则G-随机微分方程(0.0.43)的平凡解依容度u随机平稳。定理0.20.若存在正定渐减函数V(x,t)∈C2,1(Sh × [0,∞))使得为负定函数,则方程(0.0.43)的平凡解在容度V意义下随机渐近平稳。定理0.21.若存在正定渐减径向无界的函数V(x,t) ∈C2,1(R× [0,∞))使得为负定的,则方程(0.0.43)的平凡解在容度V意义下随机充分渐近平稳。注记0.4.实际上,在上述三个定理的证明中考虑下列函数由类似的方法,可以将上述结果推广到下列h≠ 0的G-随机微分方程。