所谓丢番图方程是指数论中的不定方程,简单的讲,就是未知数的个数多于方程的个数的方程(或方程组)。丢番图方程是数论中一个十分重要的研究课题,与代数数论、组合数学、代数几何等有密切联系。它的研究成果不仅对数学各个分支的发展起重要作用,而且对于其它学科,如经济学、物理学等的研究有很大的应用价值。因此,丢番图方程一直是众多数学工作者热衷研究的对象。对于一次和二次丢番图方程的解法,已经基本成熟,而对于三次及高次丢番图方程的解法,还没有一般的结论,有待于进一步研究。本文的主要内容：利用初等方法及同余理论研究了丢番图方程x3-Dy2=1其中D=38,73,97的整数解问题,证明了(1)方程x3-38y2=1仅有整数解(x,y)=(1,0),(7,3)(2)方程x3-73y2=1仅有整数解(x,y)=(1,0)(3)方程x3-97y2=1仅有整数解(x,y)=(1,0)二.运用pell方程的一些结果讨论了两类三次丢番图方程解的存在性问题,具体给出了几个丢番图方程无正整数解的充分条件。