Laplace算子与重调和算子是Riemann流形上基本的椭圆算子.它们的特征值估计和特征值不等式在几何、分析和物理中有重要的意义.　　 本文中三方面研究结果分别是:　　 1.低阶特征值不等式的结果　　 当M=R2时对Dirichlet特征值问题(1.5)，在低阶特征值不等式方面取得的进展及其在高阶特征值估计中的应用.　　 在已有工作的基础上，引入了新的方法，得到了低阶特征值更好的上界，包括PPW猜想(B)的最新结果;同时与已有的结果结合，得到了高阶特征值更好的上界，即更好的高阶特征值不等式.　　 在上面工作的基础上，利用新的分析方法，得到更好的低阶特征值不等式.　　 2.特征间隙的结果　　 通过计算n维具有标准度量的单位球面Sn的特征值间隙知，其上界的阶是k1/n.猜测，这个阶对一般的Laplace算子的Dirichlet特征值问题也成立.利用新的方法，在欧氏空间的情形内蕴地解决了该猜想.猜测这个方法可以应用到一般的流形，为此，先给出了几个直接的例子.　　 3.Laplacian和重调和算子特征值不等式的推广　　 设Ω(∈)M是具有分段光滑边界的有界域，其中M是n为非紧单连通完备Riemann流形，其截曲率Sec满足-a2≤ Sec≤-b2，其中a≥b≥0为常数，对于Laplacian和双调和算子的特征值问题，分别得到Yang型不等式.对于多圆盘Dn中具有分段光滑边界的有界域，也得到类似的结果.　　 本文结构如下:　　 第一章是引言部分，其中第一节介绍Laplacian特征值研究的背景和意义;第二节介绍特征值研究的进展与现状，包括Laplacian特征值的渐近展开及相关的特征值不等式，Laplacian高阶特征值和相邻特征值间隙的特征值不等式，低阶特征值不等式，以及著名的Payne-Pólya-Weinberger猜想，最后是重调和算子(biharmonic operator)的特征值不等式;第三节介绍了本文的主要结果和意义，以及所用的方法.　　 第二章介绍了一些基础知识，包括Riemann流形上的微分算子，流形上基本的分析结论，从微分方程角度叙述的比较定理，与本文相关的子流形几何的结果，以及线性空间概要.　　 第三章依次给出了第一章第三节所列结果的详细证明.