本篇论文主要研究了跳扩散过程的随机变换问题与跳扩散随机控制系统的相关理论及其应用。本文主要包括了五部分内容:第一部分叙述了本论文的研究背景;第二部分研究了跳扩散过程三种随机变换，其中包括了随机拉普拉斯变换、随机傅里叶变换以及随机小波变换;第三部分研究了包含两个正倒向方程的双跳扩散正倒向随机微分方程的基本理论并相应的研究了跳扩散正倒向系统的线性二次最优控制问题以及微分对策问题;第四部分研究了跳扩散正向系统以及跳扩散正倒向系统的在不定条件下的线性二次最优控制问题;第五部分研究了不完全耦合的超前延迟跳扩散正倒向随机微分方程解的存在唯一性理论继而研究了超前延迟跳扩散系统的最大值原理。　　由于随机过程有时并不仅仅是连续过程，在遇到突发事件时，需要由带“跳”的模型来刻画，因此无论是在理论上还是在应用中，对跳扩散过程的研究是非常必要的。本文所研究的跳扩散过程分为两类:第一类是由Brown运动和Poisson过程联合驱动(Lévy过程驱动)的跳扩散过程;第二类是由Brown运动和强正交Tuegels鞅联合驱动的跳扩散过程。本文第二章到第四章研究了第一类过程，第五章研究了第二类过程。　　以下是本文的的主要内容及结构。　　第一章，介绍本文所研究问题的背景和基础知识。　　第二章，我们研究了跳扩散过程的随机变换问题。首先，我们介绍了Peng[56]提出的连续过程的随机拉普拉斯变换，并根据Girsanov定理从测度变换的角度分析了此变换的本质:先根据Girsanov变换将随机过程转移到不同的概率空间取期望之后再做经典拉普拉斯变换。根据此观点，我们扩展了连续过程的随机拉普拉斯变换的定义并给出了与经典变换相对应的几个基本性质;其次，在连续过程随机拉普拉斯变换理论基础上，我们定义了跳扩散过程的随机拉普拉斯变换并研究了其基本性质;最后，我们扩展到跳扩散过程的随机傅里叶变换以及随机小波变换。特别指出的是，Peng[56]并未给出一般随机小波变换的定义，我们除了推广到跳扩散过程以外，可以定义一般的随机小波变换。以上三种变换的特点是其保证了变换的唯一性又与经典变换相一致，同时也能够看做是相关倒向随机微分方程的解，这与Peng[56]中的理论相一致。　　第三章，我们研究了一类由两个正倒向随机微分方程组成的跳扩散正倒向随机微分方程的基本理论以及相应跳扩散正倒向系统的线性二次最优控制问题及微分对策问题。在一定的单调性条件下，我们应用连续性方法得到了跳扩散正倒向随机微分方程的解的存在唯一性;在此基础上，我们进一步研究了跳扩散正倒向系统的线性二次最优控制问题，通过随机Hamiltonian系统唯一地给出了最优控制的精确表示;最后，我们研究了相应的微分对策问题，给出了Nash均衡点的唯一表达式。　　第四章，我们研究了两类跳扩散系统的不定线性二次最优控制问题，其中包括了跳扩散正向系统以及跳扩散正倒向系统。在这两类问题中，我们从线性二次问题的良定义出发，通过放松补偿子将正定的条件扩展到不定条件。关于跳扩散正向系统的不定线性二次最优控制问题，我们首先将研究了不定条件下线性二次问题本身，进而研究了不定条件下相关的随机Hamiltonian系统以及随机Riccati方程。关于跳扩散正倒向系统的不定线性二次最优控制问题，基于第三章理论的基础上，我们研究了不定条件下的线性二次问题以及相关Hamiltonian系统，给出了最优控制的表达式。　　第五章，我们研究了由Brown运动和强正交Tuegels鞅联合驱动的超前延迟跳扩散正倒向随机微分方程以及相关的最大值原理。我们首先给出了超前延迟跳扩散正倒向随机微分方程解的存在唯一性定理，在此基础上，进一步得到了超前延迟跳扩散正倒向系统的最大值原理，给出了最优控制的必要条件。　　下面我们给出本论文的主要结果。　　1.研究背景与基础知识　　这一部分中，我们介绍了本篇论文的研究背景，给出了本文中常用的空间与符号。　　2.跳扩散过程的随机变换　　这一部分中，我们主要研究了跳扩散过程f(t,ω)=∫t0a(s,ω)ds+∫t0b(s,ω)dW(s)+∫t0∫εc(s,ω,e)(N)(ds, de),t≥0的随机拉普拉斯变换、随机傅里叶变换以及随机小波变换。　　我们首先定义了It(o)过程f(t,ω)=∫t0a(s,ω)ds+∫t0b(s,ω)dW(s),t≥0的随机拉普拉斯变换:　　定义2.1.令f∈M2β(0,∞;C)，对任意α∈C，β(t)∈A(0，∞;C)，我们定义L[f]（α,β）=E∫∞0f(t)exp{-αt-∫t0β(s)dW(s)-1/2∫t0β2(s)ds}dt为过程f的随机拉普拉斯变换。　　此变换的最大特点是能够保证变换的唯一性，并且与经典变换相一致。当β取常数时，能够得到与经典变换相一致的性质。　　命题2.1.(卷积性质)对于两个独立的随机过程f(t)，g(t)∈M2β(0，∞;C)，我们有C[f(t)*g(t)]（α，β）=C[f(t)]（α,β）·L[g(t)]（α，β）.　　命题2.2.(平移特性)对于过程f(t)∈M2β(0，∞;C)，b是R-值常数，则对有延迟时间的适应过程的随机拉普拉斯变换为L[f（t-b）]（α，β）=e-αbL[f(t)]（α，β）.　　命题2.3.(调制特性）对任意的常数c1，c2，过程f(t)∈M2β(0，∞;C)满足L[exp{c1t+c2W(t)+1/2c22t-βc2t}f(t)](α，β)=L[f(t)](α-c1，β-c2).　　命题2.4.(伸缩特性)对任意常数a＞0，f(t)∈M2β(0，∞;C)，有L[f(t/a)](α,β)=aL[f(t)]（aα，√αβ）.　　命题2.5.(时域求导）如果Ft-适应的It(o)过程具有如下形式，u(t)，v(t)∈M2β(0，∞;C)，df(t)=u(t)dt+v(t)dW(t),f(0)=0,则我们有,αL[f(t)]（α,β）=C[u(t)]（α，β）-βL[(t)](α，β).　　在It(o)过程随机拉普拉斯变换的基础上，我们定义了跳扩散过程的随机拉普拉斯变换:　　定义2.2.令f∈M2γ,β(0，∞;C)，对α∈C，β(t)∈A(0，∞;C)，γ(t，e)∈H2(0，∞;ε)，我们定义L[f(t)](α，β，γ)=E∫∞0f(t)exp{-αt-∫t0β(s)dW(s)-1/2∫t0β2(s)ds+∫t0∫εln(1-γ(s，e))(N)(ds, de)+∫t0∫ε[ln(1-γ(s，e))+γ(s，e)]π（de）ds}dt为f的随机拉普拉斯变换。　　此变换的重要特性是可以保证唯一性:　　定理2.2.如果令f1(t)，f2(t)∈M2γ,β(0，∞;C)，则f1(t)≡f2(t)a.s.当且仅当L[f1(t)](α,β，γ）=L[f2(t)](α，β，γ)，(∨)（α,β，γ）∈C×A×H2.　　最后，我们定义了跳扩散过程的随机傅里叶变换以及随机小波变换。记Xμ，v(t)=exp{-∫t-∞iμ(s)d(W)(s)+1/2∫t-∞μ2(s)ds+∫t-∞ln(1-iv(s,e))(N)(ds, de)+∫t-∞fεln(1-iv(s,e))+iv(s, e)]π(de)ds}.　　定义2.3.今f∈M2μ，v（-∞,∞;C），对任意λ∈R，μ(t)∈S(-∞，∞;R)及v∈G2（-∞,∞;ε），定义F[f(t)]（λ，μ,v）=1/√2πE∫∞-∞f(t)Xv,μ(t)e-iλtdt，为f的随机傅里叶变换。　　定义2.4.令f∈M2μ，v（-∞，∞;C），对任意a,b∈R，μ(t)∈S(-∞，∞;R)及v∈G2(-∞，∞;ε)，我们定义W[f(t)(a，b,μ，v)=1/√|a|E∫∞-∞f(t)Xμ,v(t)ψ（t-b/a）dt,为f的随机小波变换。　　最后利用随机傅里叶变换扩展了功率谱的定义:定义2.8.令f是属于M2μ，v（-∞，∞;C）中的平稳过程，λ∈R，μ∈S及v∈g2，称Sf(λ，v，μ)=1/√2π∫∞-∞RQv,μf（δ）e-iλδdδ=1/√2π∫∞-≥E[f(t)(f)(t+δ）exp{-∫δ-∞iμ(s)d(W)(s)+1/2∫δ-∞μ2(s)ds.+∫δ-∞∫ε[ln(1-iv(s,e))+iv(s,e)]π(de)ds+∫δ-∞∫εln(1-iv(s, e))(N)(ds, de)}]e-iλsds,为f(t)的S-功率谱。　　3.跳扩散正倒向系统的线性二次最优控制及微分对策问题这一部分研究了一类新型的跳扩散随机微分方程(FBSDEL):{dxt=α1(t,xt-,Btpt-,Ctqt-,Dtγt，∫εEt(e)θt(e)π(de))dt+β1(t，xt-，Btpt-，Ctqt-，Dtγt,∫εEt(e)θt(e)π(de))dWt+∫εγ1(t，e，xt-，Btpt-，Ctqt-，Dtγt，∫εEt(e)θt(e)π(de))(N)（dt，de），-dyt=f1(t,xt-，yt-，zt, kt, Btpt-，Ctqt-，Dtγt，∫εEt(e)θt(e)π(de))dt-ztdWt-∫εkt(e)(N)（dt，de），dpt=α2(t，xt-，yt-，zt，kt，pt-，qt-,γt，θt)dt+β2(t，xt-,yt-，zt，kt，pt-，qt-，γt，θt)dWt+∫εγ2(t,e，xt-，yt-，zt，kt,pt-，qt-，γt，θt)(N)(dt, de)，-dqt=f2(t,xt-，yt-，zt，kt，pt-，qt-，γt，θt)dt-γtdWt-∫εθt(e)(N)(dt, de)，x0=a， qΤ=Φ2(xΤ，pΤ)，p0=Ψ(y0)，yΤ=Φ1（xΤ），(3.2.1)在Lipschitz条件、控制条件、单调性条件下，通过连续性方法，给出了方程解的存在唯一性定理。　　定理3.1.若假设(H3.1)，(H3.2)及(H3.3)均成立，FBSDEL(3.2.1)存在唯一解(λ(·)，ξ(·))=(x(·),y(·)，z(·)，k(·，·)，p(·)，q(·)，γ(·)，θ(·，·))∈L[0，T].进一步，我们研究了跳扩散正倒向随机控制系统:{dxt=(Atxt-+Btvt+μt)dt+(Ctxt-+Dtvt+vt)dWt+∫ε(Et(e)xt-+Ft(e)vt+ψt(e))(N)（dt，de），-dyt=(Gtxt-+Htyt-+Itzt+∫εJt(e)kt(e)π(de)+Ktvt+φt)dt,-ztdWt-∫εkt(e)(N)(dt,de),x0=a,yΤ=ΥxΤ+η，考虑了如下代价泛函:J(v(·))=1/2E∫Τ0T[+++∫επ(de)+<Γtvt,vt>]dt+1/2E+1/2.我们可以精确地给出最优控制的唯一表达式:　　定理3.2.问题(LQ SOC)存在如下形式的唯一最优控制:ut=-Γ-1t(BΤtqt+Dτtγt+∫εFτt(e)θt(e)π(de)-Kτtpt)， t∈[0，T]，其中(x(·),y(·)，z(·)，k(·，·),p(·)，q(·)，γ(·)，θ(·，·))∈L[0，T]为下面FBSDEL的唯一解(方便起见，将其记为 FBSDEL-LQ-SOC):{dxt=(Atxt--BtΓ-1t(Btτ qt-+Dτtγt+∫εFτt(e)θt(e)π（de）-Kτtpt）+μt）dt+(Ctxt--DtΓ-1t(Bτtqt-+Dτtγt+∫εFτt(e)θt(e)π(de)-Kτpt)+vt)dWt+∫ε(Et(e)xt--Ft(e)Γ-1t(Bτtqt-+Dτtγt+∫εFτt(e)θt(e)π(de)-Kτtpt）+ψt(e))N(dt,de)，-dyt=(Gtxt-+Htyt-+Itzt+∫εJt(e)kt(e)π(de)-KtΓ-1t(Bτtqt-+Dτtrt+∫εFτt(e)θt(e)π(de)-Kτtpt-）+φt）dt-ztdWt-∫εkt(e)(N)（dt，de），dpt=(Hτtpt--Mtyt)dt+(Iτtpt--Ntzt)dWt+∫ε(Jτt(e)pt--Ot(e)kt(e))(N)（dt，de），-dqt=(Aτtqt-+Cτtγt+Eτt(e)θt(e)π(de)-Gτtpt-+Ltxt)dt-rtdWt-∫εθt(e)(N)（dt，de），x0=a， p0=-Sy0，yΤ=ΥxΤ+η， qΤ=RxΤ-ΥΤ pΤ.最后我们研究了如下系统的微分对策问题:dxt=(Atxt-+B1tv1t+B2tv2t+μt)dt+(Ctxt-+D1tv1t+D2tv2t+vt)dWt+∫ε(Et(e)xt-+F1t(e)v1t+F2t(e)v2t+ψt(e))(N)（dt，de），-dyt=(Gtxt-+Htyt-+Itzt+∫εJt(e)kt(e)π(de)+K1tv1t+K2tv2t+φt）dt，-ztdWt-kt(e)(N)(dt, de),x0=a，yΤ=ΥxΤ+η，考虑:Ji(v1(·),v2(·))=1/2E∫Τ0[+++∫επ(de)+<Γitvit，vit>]dt+1/2E+1/2，(i=1，2),给出了Nash均衡点的唯一精确表达式:　　定理3.3.(u1(·)，u2(·))为问题(LQ NZSSDG)的Nash均衡点的充要条件是(u1(·)，u2(·))具有下述形式u1t[-(Γ1t)-1(B1t)τq1t+(Dt1)τγ1t+∫ε（F1t）τ(e)θ1t(e)π(de)-（K1t）τp1t]1u2t=(-(Γ2t)-1[(B2t)τq2t+(D2t)τγ2t+∫ε(F2t)τ(e)θ2t(e)π(de)-(K2t)τp2t]t∈[0,T]，其中(x(·)，y(·)，z(·)，k(·，·)，p1(·)，q1(·)，γ1(·)，θ1(·，·),p2(·)，q2(·)，r2(·)，θ2(·，·))满足下面的FBSDEL(简记为FBSDEL-LQ-NZSSDG):dxt={Atxt--B1t(Γ1t）-1[(B1t)τq1t-+(D1t)τγ1t+∫ε（F1t）τ(e)k1t(e）π(de)-(K1t)τp1t-]-B2t(Γ2t)-1[(Bt2)τq2t-+(D2t)τγ2t+∫ε(F2t）τ(e)k2t(e)π(de)-(Kt2)τp2t-]+μt}dt+{Ctxt--D1t(Γ1t）-1[(B1t)τq1t-+(D1t)τγ1t+∫ε（F1t）τ(e)k1t(de）π(de)-(K1t)τp1t-]-D2t(Γ2t)-1[(B2t)τq2t-+(D2t)τγ2t+∫ε（F2t）τ(e)k2t(e)π(de)-（K2t）τp2t-]+vt}dWt+∫ε{Et(e)xt--F1t(e)(Γ1-1[(B1t)τq1t-+（D1t)τγ1t+∫ε（F1t）τ(e)k1t(e)π(de)-(K1t)τpt1-]-F2t(e)（Γ2t-1（（B2t）τq2t-+(D2t)τγ2t+∫ε(F2)τ(e)k2t(e)π(de)-（K2t）τp2t-）+ψt(e)}N(dt，de)，-dyt=[Gtxt-+Htyt-+Itzt+∫εJt(e)kt(e)π(de)-K1t(Γ1t)-1[(B1t)τq1t-+(D1t)τγ1t+∫ε(F1t)Τ(e)k1t(e)π(de)-(K1t)τp1t-]-K2t(Γ2t)-1[(B2t）τqt2-+(D2t)τγ2t+∫ε（F2t）τ(e)k2t(e）π(de)-（K2t）τp2t-]+φt}dt-ztdWt-∫εkt(e)(N)(dt，de)，dp1t=（Hτtp1t-M1tyt-）dt+（Iτtp1t--N1tzt）dWt+∫ε(Jτt(e)p1t--O1t(e)kt(e))(N)dt，de)，dp2=(Hτtp2t--M2tyt-)dt+(Iυtp2--N2tzt)dWt+∫ε(Jτt(e)p2t--O2t(e)kt(e))N(dt,de),-dq1=(Aτtq1t-+Cτtγ1t+∫εEτt(e)θ1t(e)π(de)-Gτtp1t+L1txt-)dt-γ1tdWt-∫εθ1t(e)(N)(dt,de），-dq2t=(Aτtq2t-+Cτtγ2t+∫εEτt(e)θt2(e)π(de)-Gτtp2t-+L2xt-)dt-γ2dWt-∫εθ2t(e)(N)(dt, de)，x0=a，yT=ΥxT+η，p10=-S1y0， q1Τ=R1xγ-ΥΤp1Τ,p20=-S2y0， q2Τ=R2xΤ-Υτp2Τ.　　4.跳扩散系统的不定线性二次最优控制问题首先，考虑如下跳扩散正向随机控制系统:{dxt=(Atxt+Btvt)dt+mΣi=1(Cxt+Divt)dWit+m∑j=1∫ε[Fjt(e)xt-+Fjt(e)vt](N)j(dt，de)，x0=a，考虑如下代价泛函，使得其最小化:J(v(·))=1/2E∫Τ0[+2+]dt+1/2E.(4.2.2)　　通过线性二次最优控制问题的良定义，我们引入了放松补偿子:　　定义4.2.如果存在某个K∈Υ使得(L(K)，R(K)，M(K)，S(K))满足正定条件(H4.1)，则称K为放松补偿子。　　通过放松补偿子可以将随机Hamiltonian系统由正定条件放松到不定条件:　　定理4.4.如果存在放松补偿子(K)，则对任意K∈Υ，随机Hamiltonian系统(4.2.12)存在唯一解(x(·)，u(·)，qK(·)，γK(·)，θK(·，·))∈L2F（0，T;Rn）×Vad×L2F（0，T;Rn）×L2F(0，T;Rn)×M2F（0，T;Rn）。另外，(x(·)，u(·))是相应于J(·)的问题(LQ SOC I)的唯一最优对。　　同时，在某特殊情况下，我们给出了在不定条件下随机Riccati方程解的存在唯一性:　　定理4.7.若假设(H4.3)及(H4.4)成立，则SRDEL(4.2.22)存在唯一解(P(·)，A(·)，Γ(·，·))∈L2F(0，T;Rn)×L2F(0，T;Rm-m1）×M2F（0，T;Rn）的充要条件是存在放松补偿子K。另外,P(·)≥K(·),(V)(t,ω)∈[0,T]×Ω a.e..　　同时，线性二次最优控制问题(4.2.2)及(4.2.21)存在下述形式的唯一最优对(x(·),u(·)):{ut=-[Mt+m∑i=m1+1(Dit)Τ PtDit]-1[Rt+PtBt+m∑i=m1+1(Cit)ΤPtDit]Τxt,dxt=(Atxt+Btvt)dt+m1∑i=1CitxtdWit+m∑i=m1+1(Citxt+Ditvt)dWit+∫εEt(e)xt-(N)(dt,de),dxt=(Atxt+Btvt）dt+m∑i=1CitxtdWit+mΣi=m1+1（Citxt+Duvvt）dWit+∫εEt(e)xt-(N)(dt，de)，x0=a,之后，我们研研究了跳扩散正倒向随机控制系统:{dxt=(Atxt-+Btvt)dt+(Ctxt-+Dtvt)dWt+(Et(e)xt-+Ft(e)vt)N(dt,de),-dyt=(Gtxt-+Htyt-+Itzt+∫εJt(e)kt(e)π(de))dt-ztdWt-∫εkt(e)N(dt,de),x0=a，yT=ΥxT，在不定条件下考虑如下代价泛函:了(v(·))=1/2E∫γ0[+++∫επ(de)+2+2+2∫επ(de)+2+]dt+1/2E+1/2.　　通过放松补偿子(f(·)，q(·))得到了不定条件下的随机Hamiltonian系统解的存在唯一性:　　定理4.9.如果存在放松补偿子(f(·)，g(·))，则随机Hamiltonian系统(4.3.6)存在唯一解(xu(·)，yu(·)，zu(·)，ku(·，·)，pu(·)，qu(·)，γu(·)，θu(·，·)u(·))∈L2F(0，T;Rn)×L2F（0，T;Rm）×L2F(0,T;Rm)×M2F(0,T;Rm)×L2F（0,T;Rm）×L2F(0,T;Rn)×L2(0，T;Rn)×M2F(0,T;Rn)×Vad.　　给出了最优控制的表达式:　　定理4.10.如果存在放松补偿子(f(·)，g(·))，则问题(LQ SOCⅡ)存在最优控制的充要条件是u(·)具有如下形式:ut=-S-1t(f)[Kτt(f)xut+Bτt qut+Dτtγut+∫εFτt(e)θut(e)π(de)],其中(xu(·)，yu(·)，zu(·)，ku(·，·))是Hamiltonian系统(4.3.6)的解。　　5.超前延迟跳扩散正倒向随机控制系统的最大值原理　　在这一部分，我们考虑了超前延迟跳扩散正倒向随机微分方程{dXt=b(t，Xt-，Xt-γ)dt+σ（t,Xt-，Xt-γ）dWt+∞∑i=1(t，Xt-，Xt-γ)dH(i)t，-dYt=f(t，Xt-，Yt-，Zt，K，Yt+α(t)，Zt+β(t)，Kt+γ(t))dt-ZtdWt-∞∑i=1K(i)tdH(i)t， t∈[0，T]，(5.2.1)Xt=κt， t∈[-γ，0],Yt=λt， Zt=μt, Kt=vt， t∈[T，T+M]，解的存在唯一性:　　定理5.4.若b，σ,θ满足假设条件(H5.1），(H5.2)，α(·)，β(·)，γ(·)满足假设条件(H5.3)，(H5.4)，f满足假设条件(H5.5)，(H5.6)。如果初始条件κt满足E sup|κt|2＜+∞以(-γ≤t≤0)及对于任意给定的终端条件满足λt∈C2F（T,T+M;Rm），μt∈L2F（T,T+M;Rm×d），vt∈M2F(T，T+M;l2)，则AFBSDEDL(5.2.1)存在唯一解(Xt，Yt，Zt，Kt)∈L2F（-γ，T+M;Rn×Rm×Rm×d×l2）。　　之后研究了如下超前延迟跳扩散正倒向随机控制系统{dXt=b(t,Xt-,Xt-γ,vt，vt-γ)dt+σ(t,Xt-,Xt-γ，vt，vt-γ)dWt+∞∑i=1θ（i)（t，Xt-，Xt-γ vt, vt-γ）dH(i)t， t∈[0，T]，-dYt=f（t，Xt-，Yt-，Zt,Kt，Yt+γ，Zt+γ，Kt+γ，vt，vt-γ）dt-ZtdWt-∞∑i=1K(i)t)dH(i)t， t∈[0，T]，Xt=κt， vt=(v)t， t∈[-γ，0]，YT=φ(XT）， Yt=λt， t∈（T，T+M]，Zt=μt， Kt=vt， t∈[T,T+M],考虑如下代价泛函:J(v(·))=E[∫T0l（t,Xt-，Yt-，Zt，Kt，vt，vt-γ）dt+ψ（XT）+ψ(Y0)]，通过变分不等式得到这一部分的主要结果——最大值原理:　　定理5.5.假设u(·)为带跳的正倒向超前延迟递归随机控制系统的最优控制，(X(·)，Y(·)，Z(·)，K(·))为其相应轨迹。则我们有≤0，(∨)v∈Vad，a.e.，a.s..