1713年,伯努利刻画了大量经验观测中所呈现的稳定性,提出了以“伯努利定理”著称的极限定理,自此以来,数学家们对于极限理论的研究已经经历了300年。19世纪后期,极限理论的发展成为了概率论研究的中心课题。俄国数学家切比雪夫、马尔科夫等将前人的极限定理进一步一般化,在极限理论方面做出了重要贡献。1933年,Kolmogorov由测度论途径提出了概率论的六条公理,为现代概率论的发展奠定了基础。公理化后的概率论得到了快速发展并在现实生活中得到广泛应用。然而,传统概率论中的大数定律、中心极限定理等经典理论均建立在概率与期望的可加性的基础之上。随着科学与社会的发展,很多不确定现象并不满足线性可加条件,因此有时经典极限理论无法合理的解释和预测这些不确定现象,从而极限理论的应用一定程度上受到了线性可加条件的限制。以金融衍生品为例,其具有较大的利润空间,同时亦拥有潜在的巨大风险。其风险行为多数不满足线性可加条件。对其风险的错误评估和管理将会导致严重的后果,小到引起某银行、金融机构或者保险公司的经济损失,大到造成国家乃至全球的金融危机。因此,如何更加合理、准确的管理金融衍生品的风险,成为金融业界以及学术界需要考虑的重要问题。这之中存在的挑战性问题即为：金融衍生品的风险行为一般是非线性的。因此经典概率论中的概率与期望的可加性在此并不适用。学者进而寻求更加贴切的度量方法,试图应用非线性的数学理论来准确刻画风险。目前对于精确的度量方法的研究仍处于起步阶段,各种非线性的概率／期望理论尚处于建设之中,这就激发了我们对其进行进一步探索与研究的兴趣。自Delbaen[41、Artzner与Delbaen[3]提出一致风险度量以来,学者们开始广泛关注非线性概率的研究。Pardoux与Peng[70]给出了倒向随机微分方程(BSDE):的解的存在唯一性等性质,并于1997年[73]基于BSDE提出了非线性的g-期望以及g-条件期望。Gianin[53]发现了风险测度与9-期望之间的关系,并给出了分别由g-期望以及g-条件期望定义的静态风险测度与动态风险测度的相关性质。Coquet等人[9]与Chen等人[30]研究了g=μ|z|这种特殊的生成元所对应的g-期望εμ的性质,Gianin[53]进一步研究了由9-期望εμ诱导的风险测度的性质,并给出了生成元g在风险测度中的金融学解释。另外,Chen与Epstein[31]于2002年发现了动态多先验资产定价理论与g-期望理论之间的联系,其得到的资产定价公式被称为Chen-Epstein公式的。该成果发展了诺贝尔奖得主Lucas的理性预期资产定价理论,同时发现并证明了资产因素价格是系统价格与不确定性价格之和,进而解释了Allais悖论和股票溢价之谜。这些成果在经济、数学和金融监管界产生了深远影响。可见,非线性的g-期望是一个很好的描述风险行为的理论工具。另外,Peng[75]提出了更为一般化的次线性期望空间的定义。次线性期望不依赖于相应的概率,可以直接通过满足单调性、保常性、次可加性以及正齐性的实值泛函来定义。结合偏微分方程的理论,在该次线性期望框架下Peng给出了最大分布、G-正态分布、G-布朗运动等概念,[44,75,78,80]等文献证明了次线性期望下的大数定律、中心极限定理、Ito公式、G-BSDE等一系列结论,建立了一套比较完整的理论体系。Gong等人[107,108]将其理论应用于风险价值VaR、审慎性风险监管的研究之中,给出了R-VaR和R-ES指标,为解决涵纳不确定性的审慎风险管理提供了开拓性的理论与实证支持。与非线性期望理论相呼应的即为非线性概率(容度)理论。在经典的概率论中,期望与概率是相互唯一确定的,但是在非线性期望下二者不再存在一一对应的关系。由给定的非线性期望可唯一确定非线性概率,但是反之并不成立,具体说明见第一章第一节。因此,非线性期望理论与非线性概率理论是两个相关但不相同的理论体系。Choquet[11]于1954年提出容度的概念。容度可被理解为非线性概率,根据该容度其给出了Choquet期望的定义。由不同性质的容度可以得到相应的不同性质的Choquet期望,许多经典概率论下的重要结论在容度框架下得到了推广(例如[35,67,94])。不同于经典概率论中对于单一固定概率的研究,Chen等人[28,29,36]研究了对于一族概率测度取最大值所定义的上概率所具有的性质与意义,其得到了“上概率下的强大数定律”,即样本均值将收敛到由随机变量上-下均值构成的区间内,而不再是经典概率论中的收敛到一点。受以上学者成果的启发,本文旨在进一步研究各种非线性概率和期望下的极限定理,推广前人的成果,希望其可以进一步完善非线性概率论的理论体系,并将其更为合理广泛的运用到实际当中。本文共分为六章,其结构及得到的主要结论如下：(Ⅰ)第一章第一节将简单介绍几种非线性概率、期望,以及其之间的联系。第二节中我们将讨论非线性概率空间下随机变量的拟必然收敛的性质,并且得到Kolmogorov不等式、Rademacher不等式等相关结论。在第一章第一节中我们将总结介绍上概率、容度、次线性期望、Choquet期望、g-期望以及其之间的联系,本文将着重于讨论上期望空间以及上概率的相关理论。具体内容见正文。在第二节中,我们研究了上期望空间中拟必然收敛与依容度收敛的性质及相关引理,并且得到了相关不等式在上概率下的推广。在此我们只列出主要结论。设(Q,F,P,E)为上期望空间,V为由P诱导的上概率。定理0.1.1.若X_n依容度收敛于X,则存在一列正整数nk→∞,使得X_nk→X q.s.。引理0.1.2.设{X_n}n=1∞是上期望空间下的随机变量列,若存在随机变量X与一列正整数nk↑∞使得X_nk→X q.s.并且则可得到X_n→X q.s.。定理0.1.3.(Kolmogorov不等式)设{X_i}i=1n为上期望空间(Q,F,P,E)下的独立随机变量列,对任意i≥1均有E[X_i]=ε[X_i]=0,E[X_i2]<∞。记Sk=∑i=1k,X_i,那么对于任给∈>0,有若进一步假设存在常数C,使得对于1≤i≤n,均有|X_i|≤C,则有定理0.1.4.设{X_i}i=1∞为上期望空间下的独立随机变量列,对任意i≥1均有E[X_i]=ε[X_i]=0,并且满足∑i=1∞,E[X_i2]<∞,则S_n=∑i=1nX_i拟必然收敛。定理0.1.5.设{X_i}i=1∞,为上期望空间下的一列随机变量,且对任意i≠j均有E[X_iXj]≤0。设{bn}n=1∞是一列单调递增趋向于无穷的正数列,并且有∑n=1∞bmE[X_n2]<∞。对于任意k≥1,令nk为使得bn≥k的最小的整数,则有S_nk拟必然收敛。定理0.1.6.(Rademacher不等式)设{X_i}i=1∞是上期望空间下的随机变量列,且对于任意i≠j均有E[X_iXj]≤0。则定理0.1.7.设{X_i}i=1∞是上期望空间下的随机变量列,若对于任意i≠j均有E[X_iXj]≤0并且∑n=1∞(log n)2E[X_n2]<∞,则S_n拟必然收敛。定理0.1.8设f与9分别为定义在Ha,n上的函数,若下列条件成立(1)对于任意k≥1,m>0与a≥0,均有f(Ha,k)+f(Ha+k,m)≤f(Ha,k+m);(2)对于任意n≥1与a≥0,均有E[(∑i=a+1a+1 X_i)2]≤f(Ha,n);(3)对于任意k≥1,m>0与(a≥0,均有g(Ha,k)+g(Ha+k,m)≤g(Ha,k+m);(4)对于任意扎≥1与a≥0,均有g(Ha,n)≤K<∞;(5)对于任意扎≥1与a≥0,均有f(Ha,n)≤Kg(Ha,n)/log2(a+1),则有S_n拟必然收敛。(Ⅱ)第二章将引入上期望空间中渐近负相关随机变量的概念,并得到渐近负相关随机变量部分和的Rosenthal不等式。最后,应用该不等式我们将证明一个上概率下的大数定律。设(Ω,F,P,E)为上期望空间,V为P诱导的上概率。定义0.2.1.(渐近负相关)设{X_i}i=1∞为上期望空间(Ω,F,P,E)中的一列随机变量,若存在一列非负序列{∏(n)}n=1∞,满足limn→∞ η(n)=0,使得对任意n,k≥1与任意一致非增或者一致非减连续函数f与g,均有则称{X_i}i=1∞为渐近负相关随机变量列,其中,{η(n)}n=1∞称为混合系数。引理0.2.2.设p>1,q>1并且1/p+1/q=1,{X_n)n=1∞是一列渐近负相关随机变量,混合系数为{η(n)}n=1∞,则对于任意n,k≥1以及一致单调递增或者一致单调递减函数g,均有定理0.2.3.(Rosenthal不等式(a))设1/p+1/q=1并且1<p≤2,{X_n}n=∞1为E下的渐近负相关随机变量列,其混合系数为{η(n)}n=1β∞。若E[X_n]=ε[X_n]=0,则对于任意n≥1,均存在一个仅依赖于p的常数Cp,使得特别的,若∑n=1∞η2(n)<∞,则对于任意n≥1,定理0.2.4.(Rosenthal不等式(b))设1/p+1/q=1并且p≥2,{X_n}n=1∞为E下的渐近负相关随机变量列,其混合系数为{η(n)}n=1∞。若E[X_n]=ε[X_n]=0,则对于任意n≥1,均存在仅依赖于p的常数Cp与C’p,使得特别的,若∑n=1∞ηq/p(n)<∞,则对于任意n≥1,均有定理0.2.5.设1/p+1/q=1并且1<p≤2,b1,b2,…为单调递增趋于无穷的正实数列。{X_n}n=1∞为E下的渐近负相关随机变量列,混合系数为{η(n)}n=1∞,并且满足E[X_n]=ε[X_n]=0。若∑n=1η2(n)<∞与∑n=1∞E[X_n|p/bnp]<∞,成立,则有limn→∞S_n/bn=0 q.s.。(Ⅲ)第三章将给出上期望空间中垂直独立的概念,并将大数定律推广到上概率下的加权大数定律。同时应用该加权大数定律,进一步讨论随机变量列的稳定性、给出不变原理以及负相关随机变量的Marcinkiewicz-Zygmund型大数定律。定义0.3.1.(垂直独立)设X1,X2,…,X_n+1为上期望空间(Ω,F,P,E)中的随机变量,若对于R上满足E[φi(X_i)]<∞,i=1,…,n+1的任意非负可测函数φi(·)均有则称X_n+1在E下垂直独立于(X1,…,X_n)。若对于任意n∈N*,均有X_n+1垂直独立于(X1,…,X_n),则称{X_n}n=1∞为E下的垂直独立随机变量列。定理0.3.2.(加权大数定律(a))设{X_i}i=1∞为上期望空间(Ω,F,P,E)中的垂直独立随机变量列,且存在常数α>0,使得supi≥1 E[|X_i|α+1]<∞。设{ai}i=1∞是一列有界的正实数,记An=∑i=1nai。若存在实数β∈(0,min(1,α))使得则有定理0.3.3.(加权大数定律(b))设{X_i}i=1∞为上期望空间(Ω,F,P,E)中的垂直独立随机变量列,V为连续容度,且存在常数α>0,使得supi≥1E[|X_i|∝+1]<∞。设{ai}i=1∞是一列有界的正实数,记An=∑i=1nai。若存在实数β∈(0,min(1,α))使得则有定理0.3.4.(不变原理)设定理0.3.2中的条件均成立,则对于R上任意连续泛函φ(·),均有定义0.3.5.(负相关)设{X_n}n=1∞为上期望空间(Ω,F,P,E)中的一列随机变量,A与B为{1,2,…,n}的两个非空不交子集,并且对于任意i∈A以及j∈B均有i<j,若其中f与9为一致非增或者一致非减的非负连续泛函,则称{X_n}n=1∞,为E下的负相关随机变量列。定理0.3.6.(Marcinkiewicz-Zygmund型大数定律)设{X_i}i=1∞为上期望空间(Ω,F,P),E)中的NA负相关随机变量列,且存在常数0<α<1,使得supi>1 E[|X_i|α+1]<∞。则对于任意1≤p<1+α,均有(Ⅳ)第四章将给出上期望空间下卷积独立性的概念以及Fatou型容度的概念,并在此框架下给出随机变量的极限定理。在本章的最后我们给出卷积独立随机变量列关于Fatou型容度的Borel-Cantelli引理。定义0.4.1.(卷积独立)设X与Y为上期望空间(Ω,F,P,E)中的随机变量,如果对于任意φ∈Cb(R),均有则称在E下Y卷积独立于X。若对于任意n ∈N*,均有X_n+1卷积独立于(X1,…,X_n),则称{X_n}n=1∞为一列卷积独立的随机变量列。定义0.4.2.设V为定义在F到[0,1]上的容度,若对于An∈F,均有成立,则称V为Fatou型容度。我们可以将第三章中的极限定理简单的推广到卷积独立随机变量关于Fatou型容度的相应定理,并且可以进一步得到下列更新定理。定理0.4.3.设{X_i}i=1∞为上期望空间(Ω,F,P,E)中一列非负卷积独立随机变量列,且存在常数a>0,使得suPi≥1 E[|X|[α+1]<∞。并且对于任意i=1,2,…,均有E[X_i]=μ,S[X_i]=μ,0<μ≤μ。令S_n：=∑i=1nX_i,S0=0。定义则有定理0.4.4.(Borel-Cantelli引理)设上概率V为Fatou型容度。(An}n=1∞为一列F中的事件列。若{IAn}n=1∞为E下的卷积独立随机变量列,并且∑n=1∞V(An)=∞。则有(V)第五章将介绍次线性期望空间下的G-正态分布等概念,并将Peng的中心极限定理进行推广。首先我们将均值条件E[X_n]=ε[X_n]=0放宽为|E[X_n]|ε[X_n]|=O(1/n),再应用随机变量截断的方法,放宽随机变量的各阶矩条件,在次线性期望空间上得到两种形式的中心极限定理。设(Ω,H,E)为次线性期望空间,在证明中心极限定理的过程中我们需要下列G-正态分布的概念。定义0.5.1.(G-正态分布)次线性期望空间(Ω,H,E)下的随机变量X,满足E[X2]=σ2与ε[X2]=σ2,如果对于任意X的独立复制Y均有则称x服从G-正态分布,记为X～N(0；σ2,σ2])。定理0.5.2.(中心极限定理(a))设{X_n}n=1∞为次线性期望空间(Q,H,E)下的一列独立随机变量,记S_n=∑i=1n X_i,若满足以下条件：则序列{S_n/(?)n}n=1∞依分布收敛于G-正态分布,即其中ζ～N(0;[σ2,σ2])。定理0.5.3.(中心极限定理(b))设{X_n}n=1∞为次线性期望空间(Ω,H,E)下的独立随机变量列,记S_n=∑i=1nX_i,若满足下列条件：则序列{S_n/(?)n}n=1∞依分布收敛于G-正态分布,即(Ⅵ)第六章将给出上-下集值概率以及上-下集值期望的概念,并在上集值空间中给出相应的独立性的定义,同时在该框架下给出关于上集值概率的强大数定律。进一步,将上集值概率空间中的概念推广到上模糊集值概率空间中,最终得到关于上模糊集值概率的大数定律。定义0.6.1.(上-下集值概率)设{Пn}n=1∞是一列无原子的闭集值概率,由F到P([0,1])分别定义两个集值映射r(·)=∪n=1∞Пn(·)与Γ(·)=∩n=1∞Пn(·)。若对于任意A∈F,Un=1∞Пn(A)均为凸集,并且∩n=1∞n(A)均为非空凸集,则称(Γ,Γ)为一对上-下集值概率。定义0.6.2.(上-下集值期望)设(Ω,F,r)为上集值概率空间,Γ是对应于Γ的下集值概率。X：Ω→R为实值随机变量,则X的上集值期望EΓ[X]定义为下集值期望EΓ[X]定义为定义0.6.3.(独立性)设X1,X2,…,X_n+1为上集值概率空间(Ω,F,r)下的一列实值可测随机变量。如果对于所有R上令{Er[φi(X_i)]}i=1n+1均为有界集的非负可测函数φi(·),均有则称随机变量X_n+1在Er下独立于(X1,X2,…,X_n),其中集合A与B的乘积定义为AB={ab:a∈A.b∈B)。若对于任意n≥1均有X_n+1独立于(X1,X2,…,X_n),则称{X_n}n=1∞是EΓ下的一列独立随机变量。定理0.6.4.(上集值概率下的强大数定律)设{X_i}i=1∞是EΓ下的独立随机变量列,若对于某些α>0,{EΓ[|X_i|1+α}i=1∞均为有界集,并且对于任意i≥1均有EΓ[X_i+]=EΔ[X1+],EΓ[X_i-]=EΓ[X1-],EΓ[X_i-]=EΓ[X1+],EΓ[X_i-]=EΓ[X1-]。则关于r几乎处处成立。定义0.6.5.(上-下模糊集值概率)设{μn}n=1∞为一列f-概率。u(·)=∪n=1∞μn(·)与u(·)=∩n=1∞μn(·)为分别定义在F到Fc([0,1])上的映射。如果满足对于任意A ∈F,α∈(0,1],∪n=1∞ μnα(A)均为凸集并且∩n=1∞μnα(A)均为非空凸集,则称(u,u)为一对上-下模糊集值概率(记为上-下f-概率)。定义0.6.6.(上-下模糊集值期望)设u(·)=∪n=1∞ μn(·)与u(·)=∩n=1∞ μn(·)分别为上f-概率与下f-概率,其中,{μn}n=1∞为一列f-概率。若对于任意α∈(0,1],均有La(∪n=1∞ Eμn[X])为闭集,则将随机变量X的上-下模糊集值期望分别定义为模糊集∪n=1∞ Eμn[X](记为Eu[X])与∩n=1∞ Eμn[X](记为Eu[X]),即：其中,{Eμn[X]}n=1∞为模糊集并且对于任意α∈(0,1],均有Lα(Eμn[X])=Eμnα[X]。定义0.6.7.设X1,X2,…,X_n+1为上模糊集值概率空间(Ω,F,Eu)下的一列实值可测随机变量。如果对于所有R上令{{Esuppu[φi(X_i)]}i=1n+1均为有界集的非负可测函数φi(·),均有则称X_n+1在Eu下独立于(X,,X2,…,X_n)。若对于任意n≥1均有X_n+1独立于(X1,X2,…,X_n),则称{X_n}n=1∞是Eu下的一列独立随机变量。定理0.6.8.(上模糊集值概率下的大数定律)设{X_i}i=1∞为Eu下的独立随机变量列,存在某常数0<β<1,使得{Esuppu[|(X_i|1+β]}i=∞1均为有界集,并且对于任意i≥1,均有Eu[X_in]=Eu[X1+],Eu[X_i-]=Eu[X1-],Eu[X_i+]=Eu[X1+],Eu[X_i-]=Eu[X1-]。则,