【摘 要】
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控制集是图论的一个重要概念,它是指图中的一个点集,使得图中其它任何一点在该点集都至少有一个邻点.图的配对控制集问题和电力控制集问题是两类重要的控制集问题.本文对这两类控制集问题展开研究.设图G =（V,E）为无孤立顶点的简单图.S（?）V是G的一个配对控制集当且仅当V\S中每个顶点都与S中某点相邻,并旦G[S]有完美匹配.图G的配对控制数,记γpr（G）,定义为min{|S|| S为G的配对控制集
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控制集是图论的一个重要概念,它是指图中的一个点集,使得图中其它任何一点在该点集都至少有一个邻点.图的配对控制集问题和电力控制集问题是两类重要的控制集问题.本文对这两类控制集问题展开研究.设图G =（V,E）为无孤立顶点的简单图.S（?）V是G的一个配对控制集当且仅当V\S中每个顶点都与S中某点相邻,并旦G[S]有完美匹配.图G的配对控制数,记γpr（G）,定义为min{|S|| S为G的配对控制集}.设图G =（V,E）为简单图.S（?）V是G的一个电力控制集当且仅当V中所有的点可以通过下面两种方式获得信息:（1）如果v ∈ S,那么v传递信息给自己和所有的邻点.（2）如果一个有信息的点υ仅有唯一一个邻点u没有信息,那么v传递信息给u.图G的电力控制数,记γp（G）,定义为min{|S|| S为G的电力控制集}.k-电力控制集问题是电力控制集问题的自然推广.设图G =（V,E）为简单图,k是非负整数.S（?）V是G的一个k-电力控制集当且仅当V中所有的点可以通过下面两种方式获得信息:（1）如果v ∈ S,那么v传递信息给自己和所有的邻点.（2）如果一个有信息的点v至多有k个邻点没有信息,那么v传递信息给自己所有没有信息的邻点.类似地,图G的k-电力控制数,记γp,k（G）,定义为min{|S|| S为G的k-电力控制集}.当k = 0时,k-电力控制集问题就是控制集问题.当k = 1时,k-电力控制集问题就是电力控制集问题.在图的控制集问题的研究中,确定控制数的上界是一个主流研究方向,无爪图是图论研究的重要图类.本文第一章介绍配对控制集问题和电力控制集问题的背景和研究现状.在第二章和第三章,我们分别对无爪图的配对控制数和电力控制数的上界进行了探讨.Goddard和Henning在2009年提出猜想:令G（?）P是一个n阶连通图,在这里P表示Petersen图.若δ（G）≥3,则γpr（G）≤4n/7.这是配对控制数上界研究的一个重要猜想.本文第二章对无爪图的配对控制集问题展开研究.我们证明了:令G是一个n阶无爪图,若δ（G）≥ 4,则γpr（G）≤n/2 并且这个上界是可达的（见定理2.1.1）.该结果改进了 Cao和Shan等人2016年的结果.Dorbec等人在2013年提出猜想:令G =（V,E）是一个n阶r-正则连通图,其中≥ 1,r ≥ 3.若G（?）Kr,r,则γp,k（G）≤n/r+1,其中Kr,r是完全二部图.Dorbec等人证明了该猜想对k = 1,r = 3的情形成立.在本文第三章中,我们首先找到一系列r-正则无爪图（r ≥ 4为偶数）作为反例,部分否定了 Dorbec等人的猜想.然后,我们研究4-正则无爪图的电力控制数的上界,证明了:若G =（V,E）是一个n阶4-正则连通无爪图,则γp（G）≤n+1/5,并且这个上界是可达的（见定理3.1.1）.
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