【摘 要】
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微分方程边值问题理论是微分方程理论中一个重要分支,并且具有广泛应用.对于二阶微分方程边值问题人们已经研究了很多,而对四阶微分方程边值问题的研究还比较少.四阶微分方程边值问题主要起源于各种不同的物理,生物和化学现象,尤其在弹性梁及稳定性研究中具有广泛应用.众所周知,大部分建筑物的框架都是由梁构造的,梁在自身的重力及外力的影响下会发生倾斜及形变,在四阶微分方程边值问题中,非线性项f的形式不同,边值条件
【基金项目】
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国家自然科学基金（11271364）；
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微分方程边值问题理论是微分方程理论中一个重要分支,并且具有广泛应用.对于二阶微分方程边值问题人们已经研究了很多,而对四阶微分方程边值问题的研究还比较少.四阶微分方程边值问题主要起源于各种不同的物理,生物和化学现象,尤其在弹性梁及稳定性研究中具有广泛应用.众所周知,大部分建筑物的框架都是由梁构造的,梁在自身的重力及外力的影响下会发生倾斜及形变,在四阶微分方程边值问题中,非线性项f的形式不同,边值条件的不同均代表不同类型弹性梁的形变.本文主要运用临界点理论和拓扑度理论等研究了几类四阶脉冲微分方程边值问题解的存在性、多重性及解的Ulam稳定性,得到了若干新的结果.全文共分为六章,具体内容安排如下:第一章绪论,首先简要介绍了四阶微分方程边值问题及脉冲微分方程的研究背景及意义,其次着重介绍了与本文相关的几类四阶脉冲微分方程边值问题的研究现状,最后总结了本文的主要工作及创新性.第二章在谱的框架下,研究了四阶Sturm-Liouville脉冲微分方程简支梁型边值问题解的存在性、多解性.首先,在非线性项不跨共振的条件下,利用Prüfer变换和拓扑度理论得到了关于四阶Sturm-Liouville脉冲微分方程边值问题的广义Lazer-Leach定理.其次,在非线性项跨共振的条件下,利用变分法和Liapunov-Schmit过程得到了四阶Sturm-Liouville脉冲微分方程边值问题解的存在性,多重性.第三章在无穷区间上研究了四阶Kirchhoff型脉冲微分方程边值问题的可解性.首先利用极小值原理与山路定理分别得到了该问题的强制解和山路解的存在性.其次再利用亏格的性质得到了此问题非平凡弱解的多重性,最后利用Nehari流形的方法得到了此问题非平凡基态解的存在性结果.由于无穷区间上紧性的缺失,所以需要构造新的嵌入定理,这给该问题的讨论带来了一定的困难.第四章研究了非线性项含阻尼项的四阶p-Laplacian脉冲微分方程悬臂梁型边值问题解的存在性及其Ulam型稳定性.首先利用变分法和迭代技巧得到了该问题解的存在和唯一性结果,其次通过分析该边值问题的Ulam稳定性,建立Ulam稳定性定理.由于方程中有阻尼项的出现,这给变分结构的建立带来了额外的困难,故而通过变分法和迭代方法结合进行论证.第五章研究了四阶变指数p（t）-Laplacian脉冲方程周期边值问题解的存在性.首先在度理论的框架下构建了带有脉冲效应的四阶变指数p（t）-Laplacian算子在周期边值条件下的延拓定理.然后应用该延拓定理得到了一类四阶变指数p（t）-Laplacian脉冲方程周期边值问题解的存在性结果.由于本章所讨论的问题是带有脉冲效应的变指数算子,这给延拓定理的构建带来了较大的困难.第六章主要总结了本文所做工作以及对后续的探讨做出拟设想.
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