求解非线性方程的两种迭代算法

来源 :哈尔滨理工大学 | 被引量 : 0次 | 上传用户:sy_2005
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随着科学技术的高速发展,非线性科学的应用已经涉及各个行业,例如气象资料分析、飞机,汽车及轮船的设计、石油地质、计算生物化学、航天航空领域和轨道设计、信息化援救等方面有着大量的实际问题,这些问题都要借助于非线性模型来描述,最终都可以归结为非线性方程和非线性方程组的求解问题。而对于次数大于4次的代数方程,它的精确解已经不能用解析方法求出,这时想要求出方程的近似解只能寻求某种数值方法,而非线性方程组的求解要更加困难。所以,无论在理论意义还是在实际应用中,运用数值方法求解非线性方程和非线性方程组都是非常重要的。第一章,详细介绍了非线性方程的研究背景和意义,阐明了数值方法在求解非线性方程和非线性方程组中的重要性。针对这一求解问题,国内外众多学者不断去探索非线性方程更加有效的数值解法,并在文中介绍了几种常见的数值解法及收敛性分析。第二章,提出了一种32阶求解一元非线性方程的迭代算法。牛顿迭代法是求解非线性方程最经典的方法。牛顿法收敛速度快,达到二阶收敛,但每步迭代需要计算导数,从而增加了运算量,降低了效率指数。针对牛顿法的这一缺点,在求解一元非线性方程时,构造了一种改进牛顿法。该方法是以牛顿迭代法为主函数基础上,将插值法与其进行巧妙地结合,减小了计算量,提高了效率指数,构造了具有32阶收敛速度的最优迭代法,证明了该方法的收敛性,并进行了数值算例分析,验证了该算法的有效性。第三章,以全新的方式提出了一种用于求解非线性方程组的改进牛顿法。主要是对求解非线性方程组的经典牛顿法作了改进,构造了一种修正的牛顿法,并与经典牛顿法的计算效率进行了比较,改进后的方法在函数和导数求值次数与牛顿法相同的情况下,收敛速度更快,收敛阶可以达到?(10)4.221阶。并且在理论上证明了该方法的收敛性。最后通过数值算例验证了本方法的有效性。
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