本论文讲述的主要是欧氏空间和双曲空间中的曲线和曲面的几何理论,着重介绍了如何利用活动标架法与李群的知识来研究曲面的几何。全文共分三部分,具体介绍如下:第一部分为基础知识,系统讲述了三维欧氏空间中曲线和曲面的局部几何理论和曲面的内蕴几何学,并简单介绍了李群的概念及其性质。第二部分将三维欧氏空间中曲线和曲面的性质推广到高维欧氏空间中,首先在前人工作的基础上分别给出了n维欧氏空间中的曲线在一般参数和弧长参数这两种参数形式下的Frenet公式,然后给出了曲面中由自然标架直接构造出正交标架的两种方法,最后讨论了三维欧氏空间R³中曲面及其平行曲面的Gauss曲率和平均曲率之间的关系,其中的方法可推广到变分的计算,以及高维欧氏空间中的超曲面及其平行超曲面的曲率之间的关系的计算。第三部分将活动标架法与李群相结合,在欧氏空间Rⁿ上定义另外一种度量,构造出双曲空间Hⁿ,在山东大学史淑国等人研究的基础上讨论了双曲空间Hⁿ中的曲面,对它的黎曼度量进行了研究,紧接着将双曲上半空间Hⁿ中的曲面视为Rⁿ中的曲面,在活动标架法下对双曲空间中的曲面展开进一步的讨论,具体说来是充分考虑到史淑国等人发现的双曲空间Hⁿ上的群结构,给出了曲面的结构方程和运动方程的一个简单明了的推导过程,然后仿照n维欧氏空间Rⁿ中的Gauss映射讨论了Hⁿ中曲面的两种不同的Gauss映射——法Gauss映射和双曲Gauss映射,并且给出了这两种Gauss映射之间的关系,最后是总结和进一步讨论,仿照Hⁿ的定义在n维欧氏空间Rⁿ是给出了另一种度量,由此引出第三种空间de Sitter空间S₁ⁿ（1）,同理可对de Sitter空间S₁ⁿ（1）及其中的曲面作进一步的类似讨论。