【摘 要】
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1969年,S.Tanno得到了著名的分类定理：自同构群有最大维数的连通近切触度量流形由其特征截曲率的符号（大于零,等于零或者小于零）可分为三种情形.1972年,日本学者K. Kenmotsu提出一种新的规范的近切触度量流形（相对于Sasakian流形和余辛流形）,刻画了Tanno分类定理中的第三种情形.1981年,D.Janssens和LVanhecke把此类流形称为Kenmotsu流形,并且通
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1969年,S.Tanno得到了著名的分类定理：自同构群有最大维数的连通近切触度量流形由其特征截曲率的符号（大于零,等于零或者小于零）可分为三种情形.1972年,日本学者K. Kenmotsu提出一种新的规范的近切触度量流形（相对于Sasakian流形和余辛流形）,刻画了Tanno分类定理中的第三种情形.1981年,D.Janssens和LVanhecke把此类流形称为Kenmotsu流形,并且通过弱化此类流形上的几何限制将其推广到近Kenmotsu流形.自此后的三十年间,许多几何学家曾研究这两类流形及其推广并得到了丰富的结果.本文在前人研究工作的基础上,使用流形上的张量分析法,活动标架法和外微分法,讨论两类近Kenmotsu流形上的典范度量问题和局部结构定理,研究几类近Kenmotsu流形上的Ricci孤立子和Yamabe孤立子.本文主要章节简介如下第一章是绪论,首先对近切触流形的历史背景做了简要介绍,然后给出当前国际上近Kenmotsu几何的研究现状,最后一节介绍本文的主要研究成果.第二章是准备知识,在介绍复流形上的一些基础知识之后,着重讨论近切触度量流形,特别是近Kenmotsu流形上的一些基本公式与几何性质.第三章主要研究（k,μ）’-近Kenmotsu流形（M2n+1,φ,η,ε,g）第一节主要证明了：如果M2n+1上存在非退化的二阶平行对称张量场α,那么或者M2n+1局部等距于双曲空间Hn+1（-4）和欧式空间Rn的乘积,或者α是度量g的常倍数.随后在第二节证明了：如果M2n+1是ζ-Riemann半对称的,ζ-Ricci半对称的或者ζ-Weyl半对称的,那么M2n+1局部等距于双曲空间H2n+1（-1）或者双曲空间Hn+1（-4）和欧式空间Rn的乘积.此外,也分别给出了M2n+1上的曲率张量和Weyl共形曲率张量的调和性的刻画.最后一节讨论φ-循环和φ-对称的广义零分布近Kenmotsu流形,推广了已知的一些结果.第四章主要研究CR-可积近Kenmotsu流形（M2n+1,χ,η,ζ,g）我们首次证明：任意维数的局部对称的M2n+1局部等距于双曲空间H2n+1（-1）或者双曲空间Hn+1（-4）和欧式空间Rn的乘积,这个结果部分解决了G. Dileo和A. M. Pastore提出的公开问题.随后在第二节证明：如果M2n+1是Weyl共形平坦的且其标量曲率为常数,那么Mn+1局部等距于双曲空间H2n+1（-1）.第三节给出CR-可积近Kenmotsu流形在强η-平行条件下的Schur-型定理,进而引入CR-可积近Kenmotsu空间型和（k,μ）’-近Kenmotsu空间型,推广了经典的Kenmotsu空间型.最后一节给出三维近Kenmotsu流形在局部对称和其他一些几何条件（Qφ=φQ）下的局部分类结果.第五章主要研究几类近Kenmotsu流形上的Ricci孤立子和Yamabe孤立子.在第一节首先证明了：如果满足h≠0的（k,μ）’-近Kenmotsu流形（M2n+1,g）上的黎曼度量g为梯度Ricci孤立子,那么M2n+1局部等距于Einstein流形Hn+1（-4）和Gaussian孤立子Rn的乘积.随后在第二节证明：如果3维η-Einstein近Kenmotsu流形（M3,g）上的黎曼度量为Ricci孤立子,那么M3局部等距于双曲空间H3（-1）且孤立子为扩张的,改进了已有的结果（见A.Ghosh）在最后一节证明了：3维Kenmotsu流形（M3,g）上的黎曼度量g是Yamabe孤立子当且仅当g是扩张的Ricci孤立子.
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