由于在生命科学、地球物理、信号/图像处理、材料科学、信息与控制等领域的广泛应用，数学物理中的反问题近年来已经发展成为数学与工程领域中一个热门的研究方向.反问题是相对于正问题而言的，从数学角度来说，它可以描述为由问题解的部分已知信息来求数学公式或方程中的某些未知信息.反问题一般不适定，因为其解对输入的测量数据十分敏感，很小的输入数据的误差就能导致解的巨大波动.因此，对反问题求解方法的研究颇具挑战性.本文我们主要研究讨论三类反问题的数值计算和相关分析.　　第一章对本文所要讨论的三类反问题的模型及研究现状作简单介绍.　　第二章主要考虑研究椭圆偏微分方程源项系数反演问题及零阶项系数反演问题，即通过额外测量的边界信息来反演上述两种系数在整个区域的值.我们首次提出了用耦合复边界的方法进行求解.其主要思想为:通过引入复平面，将Dirichlet及Neumann边界条件耦合在一个Robin边界条件中，从而将优化方法中的目标泛函从解的边界信息的适配转化为解的虚部在整个区域上信息的适配.针对源项反演问题及零阶项系数反演问题，我们分析了复边值问题的适定性并通过Tikhonov正则化方法得到了相应的正则问题.接着，用有限元方法对问题进行离散并做了相应的一些误差估计.最后，数值结果表明我们的新方法是可行且有效的.　　第三章主要讨论约束为障碍问题的最优控制问题.事实上，这是一类反问题，即由障碍问题解的观测值来反演障碍函数.文献[3]中把障碍问题转化为半线性偏微分方程，从而将原问题转化为约束为偏微分方程的最优控制问题.在此基础上，我们通过应用敏感度分析中的方法求得了目标函数对障碍变量的一阶导数.最后提出用最速下降法和高斯-牛顿方法进行重构.　　第四章主要考虑压缩传感问题，也就是求欠定线性方程组稀疏解的问题.作为一类反问题，此问题具有不适定性.本文主要讨论其稀疏解的重构算法.针对文献[34]中的迭代重加权算法(IRLS)及文献[93]-[95]中的光滑l0算法(SLO)，我们提出了两个改进的迭代重加权最小范数解算法(IRMNS)及一个光滑的l0函数算法进行求解.数值结果表明这三种算法都是快速有效的，且其恢复稀疏解的成功率较高.随后，我们将文献[34]中的IRLS算法收敛性的证明技巧应用于一类简化的摩擦问题的求解中，构造了一个新的迭代算法并通过构造一个巧妙的函数证明了算法的收敛性.最后，数值例子表明了算法的可行性及有效性.