本文应用临界点理论(光滑或非光滑)、不动点定理等变分与非变分的方法讨论了几类椭圆边值问题在不同条件下解的存在性和多解性问题.全文共分三个部分,主要内容如下：在第一部分中,我们讨论了一类含散度型算子的椭圆边值问题多解的存在性问题,这里p>N≥2,a与g是正的径向对称函数.我们首先利用极大极小原理得到该问题在一定条件下的非径向对称最小能量解的存在性,再利用Ljusternik-Schnirelmann畴数定理得到了该问题的一个非径向对称的多解的结果.在第二部分中,我们研究了两类含奇异性算子的非光滑边值问题和其中是一个可测函数,并且关于u是局部Lipschitz的,8F(x,u)是函数u→F(x, u)广义梯度(因此8F(x,u)不一定连续),f是一可测函数(不一定连续).我们利用非光滑临界点理论证明了这两类边值问题在一定条件下存在两个解.前两部分,无论是光滑还是非光滑的模型,我们的处理方法都是变分的,在第三部分中,我们利用一个不动点定理证明了下列无界区域上含奇异性项的非光滑椭圆方程的解的存在性,这里N≥3,H是Heaviside函数,即