【摘 要】
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李超代数及其相关课题的研究是数学中最活跃的领域之一,它们与李代数,同调,以及物理学等都有着密切的联系.本文重点讨论一类特殊的李超代数L±,它是N=2超共形代数和Spectrum-
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李超代数及其相关课题的研究是数学中最活跃的领域之一,它们与李代数,同调,以及物理学等都有着密切的联系.本文重点讨论一类特殊的李超代数L±,它是N=2超共形代数和Spectrum-generating超代数的子代数.在仔细刻画了它的结构问题基础上,分别系统研究了它的Harish-Chandra模和Whittaker模.本文的研究结果由以下三部分组成：第一部分：重点讨论了李超代数L士的结构.首先确定它的所有的二上循环,然后得到这类代数的泛中心扩张.我们利用已知的bosons和fermions算子构造了L±的算子L。和Gk,并且满足相应的李代数括号运算.通过计算得到了它的导子代数和自同构群.这样就清晰的刻画了这类代数的低阶同调群和自同构群.第二部分：研究了李超代数L士的Harish-Chandra模.首先通过计算推理将此代数的不可约中间序列模归纳总结为两类,接下来证明了任意非平凡的不可约中间序列L-模V同构于Aa,b一个不平凡的单子商模,其中a,b∈C,Gr平凡地作用在模V上,对任意的r∈Z+1/2.最后证明了M是一个Harish-Chandra模,那么它只能是最高权模,最低权模,或者一致有界模,只有这三种形式.这样对此类代数的表示理论有个更清楚的理解.第三部分：研究了李超代L-的Whittaker模.在已经确定L-的中心基础上,定义李超代数L-的Whittaker模,从而分析得到此代数关于分类集合的一些重要结果,例如泛Whittaker模上的Whittaker向量形式,关于中心元素的单Whittaker模的分类等.
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