近年来，许多数学家开始投身于Hamilton PDEs中的扩散的研究，这类方程可看成是具有无穷多个自由度的Hamilton方程，典型的是Schr(o)dinger方程，波方程，Kdv方程等。最近由Tao等五人解决了色散方程中的扩散问题，这里“扩散”是指一类光滑解其能量从低频率态转移到高频率态，但是我们并不知道这种能量转换是否随着时间趋于无穷仍然被保持。对于其它类型的偏微分方程，至今尚不知道是否有类似的结果。研究偏微分方程中的扩散问题，一个自然的思路便是先研究相应的离散系统是否存在扩散现象。他证明了对于Schr(o)dinger方程的一种离散化方程，存在Arnold扩散。但是，此文中所构造的扰动非常特殊，所有的周期轨都保存了下来，从而形成了转移链，本质上，仍然是Arnold的例子。他们证明了一个周期自由连接的单摆扰动系统存在扩散轨道，并且估计了扩散速度，该模型可看成是sine-Gorden方程的一种离散化。　　本文的第三部分研究了可交换Hamilton系统在变分框架下动力学上的一些性质，证明了相应的Aubry集，Ma(n)é集分别为一致的，相应的Lax-Oleinik半群可交换，且具有公共的C1,1粘性下解，α函数具有拟线性性质等。　　本文的第四部分考虑了一类周期格点系统，该系统为N个质点通过弹簧连成一圈，在未扰时，这N个质点并不是处于自由状态的，我们通过对该系统Mather集，Aubry集，Ma(n)é集的详尽分析，以及对不变柱面的刻画，寻找了一条合理的扩散路径，用变分法证明了扩散轨道的存在性，由于有正则性保证，我们在构造扩散轨道时，不需要通过c-等价来构造局部（全局）连接轨道，而是完全遵从Arnold机制，这与[(、)]中所构造的扩散轨道图像是不一样的，他们所构造的扩散轨道有一部分是“贴着”柱面的。这样其实说明了Arnold扩散的机制可以为Arnold机制，也可不为Arnold机制，这两种方式可以并存。多自由度Hamilton系统动力学的复杂程度，由此也可窥见一斑。