本文主要讨论了两类发展型方程。 研究的第一类发展型方程——伪抛物型方程具有广泛的应用背景,特别在非传统密码体制——热流密码体制中也有应用模型。 第一章中讨论了二维线性伪抛物型方程的差分格式。伪抛物型方程中关于时间与空间变量的混合偏导项给差分格式的讨论带来了一定难度。在本章中,建立了相应初边值问题的二维隐式格式,并利用分离变量法讨论了其中的一类特殊情形——齐次情形差分格式的稳定性,最后给出了数值算例,得到的数值结果与理论结果一致。 为保证热流密码体制的安全性,需要采用非线性的模型作为加密器。在第二章中,进一步研究二维半线性伪抛物型方程的差分格式。由于许多常规的稳定性分析方法对于非线性模型不再适用,需具体问题具体分析。在本章中,运用离散泛函分析理论,结合先验估计、Brouwer不动点原理证明了相应差分格式解的存在唯一性、收敛性和稳定性。此外,还利用设计的格式进行了数值模拟。含多个空间变量的伪抛物型模型具有加、解密诸如图像等高维信息载体的天然优势,因此,具有广阔的研究前景。 为进一步提高热流密码体制的加、解密效率,在第三章中,对一维半线性伪抛物型方程设计了预测一校正差分格式,使得在每步迭代中只需求解两个线性的代数方程组,避免了非线性方程组的求解,提高了计算效率。最后,利用所设计的格式,对连续信号和中文文本实现了加、解密,为热流密码体制付诸应用提供了一种更为有效的方法。 对热流密码体制进行密码分析实质可归结为伪抛物型方程的未知参数辨识问题。现有结果表明,直接对此问题进行分析比较困难,因此我们初步从抛物型方程着手,在第四章中,讨论了一类热传导方程未知源项的数值反演。通过定义Tikhonov意义下的目标泛函,将反问题转化为最优控制问题,结合Fourier变换及逆变换将问题转化到频率域中求解,将卷积运算转化为乘积运算,提高了计算效率。最后给出了数值算例,并对结果进行了分析。