孤立子、混沌和分形是非线性科学的三个重要组成部分。在过去的三十年中，非线性科学被深入研究并广泛应用于物理学中几乎所有的分支，如光学、流体力学、凝聚态物理、场论、低温物理、等离子体物理以及各个自然学科分支如大气科学、生物学、化学、通讯等等。例如，光纤孤子通讯就是孤立子理论应用于实际的一个典范。1984年，Mollenauer等人研制成功光孤立子激光器并运用于光纤通讯上，从而开拓了光学孤子研究的新领域，丰富了光学孤子理论的内涵，促进了孤立子理论的研究。随着孤立子理论的发展，已涌现出一大批非线性波动方程如KdV方程和非线性Schr(o)dinger方程等，这些方程都源自物理学的各个分支领域，能够描述许多物理过程。如非线性Schr(o)dinger方程就是光纤孤子通讯中的模型方程。近年来，这些基本的非线性模型尤其是完全可积的模型的孤立波以及可积性质已经倍受关注并被广泛研究。但是对于一个实际的物理过程往往是不可积的，常常伴有某种扰动。这种附加的扰动可以随物理问题的不同而不同。因此，扰动系统更接近于真实的物理过程，研究扰动系统更有实际意义。另一方面，混沌是人们最感兴趣的非线性现象之一。但正如我们所知，一个完全可积的孤子系统是不能展示混沌行为，而一个可积系统附加一个扰动后将可能导致混沌的发生。有研究发现，混沌存在于扰动的KdV方程和扰动的sine-Gordon方程中。那么一个自然的问题是：是否也能在其它的扰动或驱动的非线性系统中发现混沌?本文将对这个感兴趣的问题进行研究。归因于非线性的复杂性，求解非线性问题最有效的方法是数值方法。数值方法已被成功地应用于求解各种非线性问题中，尤其是混沌问题。常见的研究混沌运动的数值方法有分岔图、Lyapunov指数谱、Poincaré映射、功率谱、分形维数等，它们都是研究动力系统的混沌性质和探索混沌吸引子非常有用的工具。例如，分岔图显示了耗散系统的吸引子随分岔参数变化时的演化。又如Lyapunov指数谱能够确定系统的吸引子类型、吸引子的维数以及系统对初值的敏感性。　　 本文阐述了孤立子和混沌学发展的概况，阐明了混沌研究的背景和意义，介绍了研究混沌的几种数值方法，同时也简要阐述了分形的基本概念以及分形与混沌的关系。在此基础上，做了以下的主要工作：⑴借助于Maple9软件，计算了某些典型的混沌系统的所有的Lyapunov指数，并应用Kaplan-Yorke公式求得了其混沌吸引子的分形维；⑵利用系统响应的分岔图、Poinlcaré截面映射图、相轨线图等图形及Lyapunov指数谱、吸引子的分形维的定量计算分析研究了周期激励的Duffing方程、带有五次非线性项的Duffing方程和具有φ6势的Duffing-Van der Pol方程的分岔与混沌行为。研究发现动力系统随分岔参数的变化将呈现出规则运动与混沌运动之间的相互转化与演变，以及系统中存在着丰富的非线性现象如倍周期分岔、阵发性分岔、危机等；⑶利用相平面分析，讨论了广义KdV方程、复KdV-Burgers方程及具有任意阶非线性项的复KdV-Burgers方程的孤立波的存在性，并用分岔图、Lyapunov指数、Poinlcaré映射、分形维数等数值分析方法分析了在周期扰动下的系统的复杂的动力学行为。