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二次特征值问题(QEP)在科学和工程中有着广泛的应用,本文主要研究求解QEP向后稳定的算法,并加以有效实现.向后稳定性是衡量一个数值算法好坏的标准方式,向后稳定的算法能够给出一个近似真实问题的精确解.结合求解大部分数值代数问题的算法来看,目前最好的算法最多也只能够保证向后稳定性.到目前为止,我们的算法是求解稠密QEP第一个向后稳定的算法.首先,我们设计出了求解稠密QEP向后稳定的算法.我们的算法合成了tropical-like缩放(scaling),选择线性化和相应的恢复特征三元组等技巧.我们证明了在该算法中,从QEP的条件数到线性化的条件数的增长因子和从线性化的向后误差到QEP的向后误差的增长因子都是O(1)量级.从而证明了整个算法的向后稳定性.数值实验证实了我们的理论分析,并展示了该算法的优势,特别是求解重阻尼(heavily damped) QEP的有效性.其次,我们运用MATLAB语言将设计的算法很好地实现成稠密QEP强完全解的求解器—qeig.该求解器不仅包括先前针对该算法提出的一些技巧,而且还包括一个预处理过程.通过预处理,我们可以收缩掉一些由奇异首项和尾项系数矩阵导致的零和无穷特征值.对于所有稠密QEP来讲,我们的求解器是向后稳定的,并且数值实验显示：整体上而言,qeig比MATLAB函数quadeig有更好的计算效率和向后稳定性,特别是对重阻尼的QEP和首项或尾项系数矩阵奇异的QEP来说.本文的创新点：(1)提出了针对QEP新的特征值参数缩放策略-tropical-like缩放.(2)设计出了求解所有稠密QEP完全解的向后稳定的算法,并从理论上证明了该算法的向后稳定性.(3)发展并完善了收缩掉(deflate)一些由奇异首项和尾项系数矩阵导致的零和无穷特征值的预处理技巧.