多项式系统全部孤立解的理论与算法，是现代数学与应用数学的重要研究课题，也是理论物理等基础学科以及电力系统、机器人控制等工程技术学科的重要模型问题。同伦连续方法是求解多项式系统全部孤立解的一种可靠而有效的数值方法。但经典同伦算法中需要跟踪解曲线的数目等于Be′zout数，对实际应用中出现的规模较大且退化的多项式系统，经典的同伦连续方法效率很低。多齐次同伦方法利用多项式系统的齐次结构，可以大幅地减少退化多项式系统所需跟踪解曲线的条数。多齐次Be′zout数也是多项式系统孤立解个数的上界，且不同的变量分组对应着不同的多齐次Be′zout数。在多齐次同伦方法中，计算最小多齐次Be′zout数，等价于两个NP-hard问题，即（1）在所有可能的变量分组中寻找多齐次Be′zout数最小的分组；（2）对于一个给定的变量分组，计算相应的多齐次Be′zout数。预处理技术在求解线性系统中发挥着重要的作用。本文将预处理的思想借鉴应用到多项式系统中，提出了一种基于二部图模型的预处理方法。对于多项式系统，将变量对应于图的结点，将变量相乘关系对应为边，进而引入二部图模型。通过研究二部图的联接结构，进而找到和变量分组相关的块结构。把这种块结构作为多项式系统的预处理条件，可以大幅减少变量分组数目。大量的数值实验验证了这种预处理技术的效率。确定最优变量分组的另一个核心问题是计算给定变量分组的多齐次Be′zout数，这等价于矩阵积和式的计算。本文对稀疏矩阵提出了基于图的二划分的积和式算法，使得计算速度在矩阵阶数大于70时有了很大的提高。进一步，我们得到了计算积和多项式的新算法，使得在可接受的时间内，积和多项式的可计算规模有了提高。另外，作为积和多项式的一个重要应用，我们给出了其在化学图论中的应用。