随着CAD技术应用的日益普及,人们对几何造型方法提出了越来越高的要求。对于复杂曲面的构造和高质量曲面的设计,B样条方法已不能满足人们的需要。为了提高曲面设计的能力,简化复杂曲面的设计过程,近年来提出了一些新的曲面造型技术,如小波曲面造型方法、偏微分方程(PDE)曲面造型方法、能量曲面造型方法等。为了追踪先进研究趋向,本文研究了基于Helmholtz方程的曲面造型方法。将Helmholtz方程引入到了曲面造型技术中,为了在曲面造型设计中得到更多的自由参数,把Helmholtz方程中的系数进行扩展,给出一类含有三个形状控制参数的偏微分方程,本文把它叫做bi-Helmholtz方程。重点讨论了二阶和四阶bi-Helmholtz方程在过渡面构造及其形状控制和自由曲面设计中的应用,研究了形状控制参数对曲面形状的影响。为了提高曲面造型的交互式设计能力,本文给出了一个带有六个矢量形状函数的bi-Helmholtz方程,讨论了形状控制参数及其力源函数对曲面形状的影响,并通过修改边界条件和边界导矢来达到交互式设计的目的。由于矢量形状函数是以曲面参数u,v为自变量的连续函数,可以在整个参数域上变化,所以极大地提高了利用偏微分方程(PDE)方法构造曲面的能力。为曲面的交互式设计提供了更大的灵活性,增强了曲面的控制能力。此外本文还讨论了一种构造PDE曲面造型的数值方法,即谱配点方法,详细介绍了谱微分矩阵的计算及其在PDE曲面造型设计中的应用。