Keller-Segel趋化模型的高精度紧致差分方法

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Keller-Segel趋化模型的解随着空间维度不同在一定条件下呈现出有界的全局解、单调的边峰解、稳态解和有限时间爆破等多样化的复杂结构,近年来成为了偏微分方程领域研究的热点问题之一.目前对Keller-Segel趋化模型的数值方法研究主要集中在有限元方法和有限体积方法方面,采用有限差分方法探索该模型的数值解非常少见.采用高阶紧致差分方法的窄(紧)网格可以得到更精确的数值结果.与使用更宽模板的传统高精度方法相比,这是一个重要的优势.同时,该方法具有较好的稳定性和易于处理边界条件.为此,本文采用高阶紧致差分方法研究Keller-Segel趋化模型的高精度数值解.主要研究内容与结果如下:1.研究了 Keller-Segel趋化模型中描述化学引诱剂浓度变化方程的高精度有限差分解法.单独对浓度变化方程的二维问题,概括为半线性扩散反应方程的一般形式.采用四阶紧致差分公式离散方程中的空间二阶导数项,采用四阶向后差分公式离散方程中的时间导数项,建立了无条件稳定的全隐紧致差分格式,该格式在时间和空间上均为四阶精度.然后建立多重网格算法加速每个时间步上求解非线性代数方程组的收敛速度,且给出了时间推进算法.数值模拟具有实际物理背景意义的偏微分方程初边值问题,包括非线性Fisher方程、Chafee-Infante方程等,验证了格式和算法的精确性和可靠性.2.研究了 Keller-Segel趋化模型中描述细胞密度变化方程的高精度有限差分解法.分别对密度变化方程的一维和二维问题,概括为非线性平流扩散反应方程的一般形式.采用四阶向后差分公式离散方程中的时间导数项,分别采用四阶紧致差分公式和四阶Padé公式离散和计算方程中的扩散项和非线性平流项,建立了无条件稳定的四阶全隐紧致差分格式.然后建立了多重网格算法和时间推进算法,并给出了数值实验,包括各种粘性Burgers’方程、Burgers-Huxley方程、Burgers-Fisher方程、具有刚性反应项的平流扩散反应方程等非线性方程的初边值问题,验证了差分格式的收敛性和稳定性.模拟了平流占优问题、强非线性平流问题以及生物种群模型中具有平流的模式形成问题.3.研究了一维Keller-Segel趋化模型的高阶保正数值解法.采用有限差分方法建立了无条件稳定且时间和空间上均有四阶精度的全隐紧致保正差分格式.建立了保正性算法从而使得所有时间步的数值解非负,并给出了时间推进算法.数值模拟了一维Keller-Segel趋化模型单调边峰解和稳态解的渐进行为,验证了差分格式的收敛性、稳定性和细胞密度值的非负性.4.研究了二维Keller-Segel趋化模型的高阶保正数值解法.采用有限差分方法建立了无条件稳定的四阶全隐紧致保正差分格式.为了更好地捕捉有限时间爆破的奇性数值解,对时间步长采用自适应技术.并建立了多重网格方法、保正性算法和时间推进算法.数值模拟了二维Keller-Segel趋化模型解在矩形区域有限时间发生爆破的现象,验证了差分格式的收敛性和稳定性,以及细胞密度值的非负性.
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