【摘 要】
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本文主要研究来源于流体力学、通讯以及自然灾害预测等实际领域中出现的两类非线性色散波方程波裂后的性质.其主要内容如下:第二章,研究修正耦合Camassa-Holm系统全局守恒解的唯一性和一般正则性.该系统在有限时间内可能出现奇性,且在波裂后守恒解存在.首先,通过引入新的变量,对给定系统的守恒解z 证明z经过的每个初始点存在唯一的特征曲线.之后,应用新的特征方程将原系统转换成与其等价的半线性ODE系统
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本文主要研究来源于流体力学、通讯以及自然灾害预测等实际领域中出现的两类非线性色散波方程波裂后的性质.其主要内容如下:第二章,研究修正耦合Camassa-Holm系统全局守恒解的唯一性和一般正则性.该系统在有限时间内可能出现奇性,且在波裂后守恒解存在.首先,通过引入新的变量,对给定系统的守恒解z 证明z经过的每个初始点存在唯一的特征曲线.之后,应用新的特征方程将原系统转换成与其等价的半线性ODE系统,通过分析半线性ODE系统中的变量u,v,ux,ux沿每个特征的变化,得到当初值z0=(u0,v0)∈H1(R)×H1(R)时系统Cauchy问题的全局守恒解的唯一性.最后,在唯一性基础上,得到系统守恒解的一般正则性.第三章,研究Constantin-Lannes(CL)方程守恒解的Lipschitz连续性.由于可能在有限时间内波裂,CL方程的具有光滑初值的解在Sobolev空间中的一般度量下不Lipschitz连续.为克服这一困难,本章通过给CL方程的解及其切向量引入Finsle模来构造一个度量(geodesic distance).首先,应用截断定理(Thom’s transversality Theorem),得到初值在H1(R)的开稠密子集中的CL方程解的逐段光滑性,并证明在已有度量(geodesic distance)下,此类逐段光滑解的Lipschitz是连续的.最后,解的一般正则性结论保证在此度量下,逐段光滑解的Lipschitz连续性可拓展到CL方程的守恒解.
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