近年来,大量的研究者花费时间在一个非常热门的方向上—数字图像处理。数字图像处理是使用电脑通过好的算法来处理数字图像。相比于传统的模拟图像处理,数字图像处理有诸多的优点,例如我们能够使用更多更广泛的算法到数字图像处理中;能够避免如处理过程中失真的问题。数字图像处理的高速发展,离不开三个重要的因素:首先,计算机的发展带来了计算量上的极大提升,很多上世纪的算法理论由于计算量无法降低,导致那个时期无法实现,而现在这样的问题得到了解决。其次,对应算法的数学理论研究领域也得到了足够的发展。计算数学作为一个较为年轻的数学分支,由于其极强的应用性,在近100年有着极快的发展速度,例如对本篇论文很重要的离散数学理论的研究。最后,现在的社会,有着大量对图像处理的需求。图像处理被广泛的应用到诸多领域,例如环境,工业,医药学等。数字图像处理包含了许多分支,包括去噪,增强,复原,分割等。本文将重点放在图像去噪,并对其他分支作适当讨论。图像去噪作为最经典的图像处理问题,有着大量不同的算法。当我们使用或者设计一个算法的时候,我们通常要考虑下面两个方面的因素:1.能否实现这个算法是最先需要考虑的。即使是现在的电脑,一些复杂的算法的计算量还是超出了允许范围内,一个过于消耗时间的算法即使效果比较好,有时我们也不会考虑。2.在允许的范围内,牺牲一些真实的细节能否让去躁效果变得更好,也就是说我们的算法可以忽略一些图像原有的并不重要的特征来取得更好的去躁效果。我们需要权衡图像的细节和噪音的特征。本文进行数字图像处理是通过基于偏微分方程的方法。得益于传统偏微分理论作为一个重要的基础数学分支,有着大量成熟完善的理论体系,并应用传统的图像处理所累积的经验。使得采用偏微分方程进行数字图像处理这个领域发展的十分迅速。通过偏微分方程的数字图像处理方法的基本思想,是在图像的连续数学模型上,让图像遵循特定偏微分方程的模型发生变化,而偏微分方程的解,就是我们希望的结果。常见的建模方式例如,建立能量泛函,通过变分法,得到Euler-Lagrange方程。本文就是基于这个方式。其他的还有例如将图像的平滑处理与杂质的扩散类比,建立方程等,这里不做过多讨论。模型建立后,重点就是用如何的方法求解我们的目标偏微分方程。图像函数的不连续性,偏微分方程的非线性,图像数据过于庞大等都是我们需要面对的困难。所以,利用偏微分方程进行数字图像处理时,往往数值实现是重中之重。我们的数值方法需要同时兼顾稳定性,精确度,效率等多方面的需求。偏微分方程处理图像有以下两个比较主要的优点:1.方法具有较强的区域自适应性。因为PDE是建立在连续图像模型之上,图像某个像素的值随着时间的变化仅仅依赖于该像素点的一个无穷小的领域。2.方法具有高度的灵活性。这里的灵活性指的是我们如果建立一个好的PDE模型,通过做合适的修改与扩充,能够比较方便的得到更完善或者广泛的处理方法。例如将一维推广到二维,单值图像推广到矢量图像等。在数字图像处理中,全变分去躁(又叫做全变分优化)的原理是基于那些含噪音的图片往往有更高的全变分值。更详细的说,就是数据的绝对梯度和更高。根据这个原理,降低图像的全变分能够让我们得到更接近原图像,噪音更低的结果,并且这个方式能够很好的保留例如边缘这样的重要信息。这个概念最早由Rudin,Osher和Fatemi在1992年提出。所以我们一般称这个方法的模型为ROF模型。通过ROF模型,我们需要求解一个极小化问题,该问题对应的Euler-Lagrange方程便是我们需要求解的PDE模型。利用梯度下降法求解该PDE,我们便可以得到我们需要的答案。我们利用梯度下降方求解时,得到的是一个非线性PDE。对于设计求解非线性PDE的格式设计,我们一般需要考虑例如效率,格式是否容易实现等因素,但最先需要考虑的是格式是否是保证能量衰减的。一些常见的能量衰减隐式非线性格式包括凸分裂法,离散梯度法和Runge-Kutta等。我们往往能通过这些方法得到一些高阶精度的格式,但这些方法要求在每一个时间步长解一个非线性系统,是非常复杂的。相比于这些全隐式的方法,线性隐式方法在每一个时间步长只需要解一个线性系统。能量衰减的线性隐式方法包括稳定化方法,Lagrange乘子法,IEQ方法等,以及本文使用的SAV方法。IEQ方法和SAV方法都是将原来的方程转换成了一个等价的方程组。这样转换的主要优点就是将能量以Hilbert空间中的一个新的变量的形式表现了出来,这样相当简化了能量衰减方法的构建。事实上,我们能够非常容易的得到一个二阶精度的能量衰减方法。比如直接将线性隐式二阶BDF格式用到等价的方程中,通过IEQ或者SAV方法,我们自然的得到了一个能量衰减的离散格式。但通过SAV方法得到更高阶精度的格式仍然有困难。由于研究的时间和水平有限,本文章的研究对象并不是最普遍的彩色图像。文章将会从更加基本的角度出发,严谨并详细的说明图像的分类。一般图像根据成像原理的不同分为像素图像和向量图像。我们在日常生活中一般讨论或者分析的都是像素图像。像素图像的每一个点称为一个像素,而一个像素中存储的色彩信息我们就可以用数字去表示。对于彩色像素图而言,我们现在常用的RGB色彩模式是这样去存储颜色信息的:通过三个颜色频道的亮度来显示彩色。RGB就指的是红色频道,绿色频道和蓝色频道。本文最后用于实验的例子人为的将彩色图转换为了灰度图去进行数值实验。灰度图其实就是只有一个颜色频道的简单情况,所以结论可以推广到彩色的情况。一个位置的颜色频道的程度一共有256阶级,也就是0到255。这个数字是由于计算机的存储导致的,2的8次方。那么一张灰度图的每一个像素的颜色信息完全的由一个0到255之间的数字来表示了。所以我们完全可能在matlab中用一个同样规格大小的矩阵来存储一个灰度像素图的全部信息。例如,一张50×50像素的图片可以用一个50×50大小的矩阵来存储。而我们之后做的操作都是对矩阵内部元素的操作。本文将首先介绍并陈述相关的理论基础,构建模型。得到PDE方程后,通过SAV方法设计出格式对PDE进行求解,并将分析SAV方法对比常规方法的优点和缺点,并通过几个实例展示。之后本文将简单讨论SAV方法设计的格式利用到其他图像处理方向。文章中所展现的例子是图像处理领域最为经典以及著名的例子,该例子背后也有许多有趣的故事。我将会在原图像上加上几种不同类型的噪音。而在理论环节中,本文更深层次的讨论了两种更加复杂的基于SAV方法的格式,这两种格式对比文中使用的格式有着的更多的优点,但也更加复杂一点。本文使用的通过SAV方法的格式对比于传统的显示格式,在去噪效果方面的表现几乎难以区别。但本文所使用的的格式最大的优点就是利用了SAV方法构建格式的稳定性。传统显示格式实现简单,但对时间步长有着严格的要求,如果需要得到稳定解,需要极小的时间步长。但SAV方法的格式是稳定的,我们能够选取更大的时间步长。这样带来的最直接的好处就是我们最后达到稳定状态的迭代次数大大缩减。并且在文章中我们还证明了SAV格式是非常容易实现的,所以决定计算量的最重要的因素就是迭代次数。本文所使用的的格式对比传统显示格式最大的优点就是大大节省了计算时间。文章中所使用的例子是一张比较小的图片,如果去噪的对象变成更大分辨率的图像的话,SAV方法的优点将会体现的更加明显。