虽然平均值是一个很古老的概念,但是因为其在代数与几何方面的吸引力以及包括概率、统计和工程等众多方面的应用,使得平均值成为科学领域一个不可或缺的工具.对平均值的研究一直蓬勃发展且长盛不衰.一般看来,平均值是一种多元函数.可分为对称平均与非对称平均两大类.对称平均有着良好的性质和广泛的应用.在几何与拓扑中,一些基本的不变量就是用对称平均来定义的，比如黎曼子流形中的r阶平均曲率.为此我们主要考虑对称平均的相关问题.在具体的二元对称平均中,众所周知,算术平均、几何平均与调和平均都是幂平均与第一类广义对数平均的特殊情况.但是算术平均、几何平均和调和平均它们的组合关于幂平均或者第一类广义对数平均的界,还没有相关的结论.为此，我们给出了算术平均、几何平均与调和平均的几何组合关于幂平均的上下界；给出了两个幂平均的几何平均关于幂平均的上下界；算术平均与几何平均的凸组合关于第一类广义对数平均的上（下）界.第一类、第二类Seifert平均以及Neuman-Sándor平均都是最近才被定义和研究的不带参数的平均.这三类平均,都不是任何一个目前我们熟知的带参数平均的特殊情况.因而,考虑将这三类平均在与其他带参数的平均进行比较,是一件非常有意义的事情.第二类广义对数平均是由对数平均拓广而定义的一个新的带一个参数的平均.关于Neuman-Sándor平均与第二类广义对数平均相关的研究结论几乎是空白.我们分别给出了第一类、第二类Seifert平均以及Neuman-Sándor平均关于第二类广义对数平均的下界,并说明了对第一类、第二类Seifert平均以及Neuman-Sa′ndor平均而言,都不存在关于第二类广义对数平均的上界.值得指出的是,我们得到的所有的界都是最佳的.相对于具体的平均而言,抽象的平均更具有一般性.因而对抽象平均进行研究具有重要的理论意义和学术价值.加权算术积分平均是抽象平均中最基本和重要的一类平均,而广义加权拟算术积分平均是加权算术积分平均的推广.近年来有大量的学者研究加权算术积分平均并取得了很多研究成果,但关于广义加权拟算术积分平均的相关研究才刚刚起步.为此,我们通过综合利用凸性、Jensen不等式和Chebyshev积分不等式等工具,对不同的广义加权拟算术积分平均做了比较,定性地给出了一些其相互之间比较大小的充分条件.另外,对Toader和Sándor于文[42]中仅用一个积分式定义的一类对称的抽象积分平均也做了相关的研究.抽象平均有广泛的应用前景,而Chebyshev泛函是其最重要的应用之一.利用算术积分平均定义的Chebyshev泛函因既有其自身的理论意义,又有包括了积分变换、随机问题以及特殊函数等方面的广泛应用,所以长期以来一直受到数学工作者的关注.在对Chebyshev泛函的理论研究中处于核心地位的是对Chebyshev泛函的估算.由于前人的工作,对经典的(加权)Chebyshev泛函的估算日趋完美,但是对于定义在两个不同区间上的广义Chebyshev泛函的估算还知之甚少.为此,我们通过建立了一个关于广义Chebyshev泛函的恒等式,获得了广义Chebyshev泛函的系列估计式.作为Chebyshev泛函的应用,我们通过Chebyshev泛函恒等式、Grüss不等式以及构造核函数的方法,得到了Ostrowski-Grüss型的积分不等式,该结果推广了已有的Ostrowski-Grüss不等式.另外,我们还利用Chebyshev不等式与Grüss不等式得到了若干泰勒余项的积分不等式.Schur凸性一直是研究多元对称函数的一个重要工具.将Schur凸性与控制理论结合在一起,是发现与创造新的不等式的一个重要方法,因而探讨一些具体的或抽象的多元函数的Schur凸性一直是数学界的热点问题.加权算术积分平均与加权Chebyshev泛函的Schur凸性的充要条件已经被建立,但是它们的Schur几何凸性与Schur调和凸性的判别法则还没有被给出.为此,我们建立了加权算术积分平均的Schur几何凸性与Schur调和凸性的充要条件,并给出了更为简明且便于计算的判断加权算术积分平均为Schur凸、Schur几何凸以及Schur调和凸的充分条件.发现了加权Chebyshev泛函是某一个函数的加权算术积分平均,并借助于加权算术积分平均Schur凸性的已有结果,我们给出了加权Chebyshev泛函的Schur凸性的判别条件.最后,讨论了几类多元对称函数的Schur凸性,并将以上得到的Schur凸性的结论与控制理论相结合,推导出了一些新的不等式.