最近几十年以来,分数阶微积分在数学、物理和工程等领域得到了广泛的应用。众所周知,分数阶微分方程可以用来描述黏弹性材料表现出介于纯黏性液体和纯弹性固体之间的状态。然而,与非线性整数阶常微分方程相似,通常很难(甚至不可能)精确地获得非线性分数阶微分方程的解析解。因此,需要用数值算法来求解非线性分数阶微分方程。一般来说,建立一种新的数值算法的主要难点在于对分数阶导数或者积分的离散,而由于分数阶微分方程的非局部性,使得构造数值解法及进行理论分析具有挑战性。因此,对分数阶微分方程的数值求解成了一个热门研究领域。在第二章中,我们首先建立了一个带有初值条件且分数阶范围在0<α<1的非线性的Caputo分数阶常微分方程的有效算法,然后证明了算法的稳定性和收敛性,它是1+α阶超线性收敛的。由于分数阶算子的非局部性,该算法比较耗时,因此又提出了一种基于核函数为tα-1,区间为[h,T](h为步长)的Riemann-Liouville积分指数和(SOE)的快速算法。最后,给出数值实验验证了该算法的理论结果以及快速算法的计算效果。在第三章中,我们建立了一个多项分数阶非线性常微分方程的超线性算法。首先将该问题转化为等价的多项Riemann-Liouville积分问题。然后我们利用梯形算法对积分进行离散。接着证明了算法的稳定性和收敛阶,其收敛阶为1+αN-1-αN-2,其中αN-1和αN-2分别为多项分数阶常微分方程中分数阶最大和第二大的两项分数阶指数。最后通过两个数值算例验证了我们的理论结果。在第四章中,我们又将第三章的研究内容扩展到多项分数阶偏微分方程上,为其建立一种经典L1格式算法和基于其等价多项分数阶积分的算法。最后通过数值实验比较了两种算法,当2αN-1-αN-2>1时,显然后者表现得更好。