流体中的最优形状设计问题是微分几何、形状优化理论和计算流体力学有机结合的产物.随着计算流体动力学的飞速发展以及计算机性能的不断提高,基于计算流体动力学的最优形状设计已成为当前计算流体力学研究的一个重要领域.本文主要以Navier–Stokes方程作为流体优化问题的控制方程,利用共轭方法对两类不同的形状优化问题进行深入的研究,借助于速度法描述区域扰动,从而建立优化问题的一阶最优性条件并给出数值求解算法及其在翼型设计、血流插管设计以及一般绕流物体设计中的应用.本文研究内容如下:(1)利用连续共轭方法研究带非齐次Dirichlet边界条件的Navier–Stokes方程控制的形状反问题,其中目标函数为速度追踪型函数.内容主要有: (i)利用Piola物质导数方法证明在体积力正则性比较弱的情况下定常和非定常流体速度关于可变区域的弱可微性,然后利用共轭方法给出目标函数的一阶最优性条件; (ii)利用函数空间参数化方法以及函数空间嵌入方法从形式上建立定常形状反问题的一阶最优性条件,其结果与Piola物质导数方法得到的结果相同.这两种方法可以避开对流体状态可微性的研究.最后讨论了上述三种方法的优缺点.(2)利用连续共轭法研究带混合边界条件的定常和非定常Navier–Stokes方程控制的耗散能极小化问题.从连续的形状优化问题出发,利用函数空间参数化方法推导出定常和非定常形状优化问题的一阶最优性条件,包括目标函数的欧拉导数的两种直观且等价的表示形式:区域积分形式和边界积分形式.(3)利用离散共轭法研究带混合边界条件的定常和非定常Navier–Stokes方程控制的耗散能极小化问题.采用低次等阶元局部高斯积分稳定化方法对带混合边界条件的Navier–Stokes方程进行离散,并从离散的形状优化问题出发,采用分片线性元离散情形下的速度法来描述有限元网格的扰动,利用离散情形下的函数空间参数化方法推导出离散的共轭方程以及目标函数欧拉导数的具体表达形式.该稳定化方法不需要考虑稳定化参数,数值实现简单.采用该稳定化方法时,最优性条件的推导过程与连续共轭法下的推导过程相比工作量几乎相同.(4)在上述三种情况中,给出形状优化问题的数值求解算法及其在血流插管形状设计和绕流物体设计等模型中的应用.内容主要有:(i)将Banach空间中的梯度算法与网格自适应技术和网格移动技术结合,构造出求解流体形状优化问题的数值算法;(ii)对于不同雷诺数情形下的定常和非定常形状问题,给出其在形状反问题、血液动力学中插管形状设计以及绕流物体形状设计模型中的算例.此外还给出了定常耗散能极小化问题在空气动力学翼型设计中的简单应用.针对定常绕流物体形状设计模型,采用标准Galerkin方法和局部高斯积分稳定化方法求解,给出了不同雷诺数情形下的数值结果,比较发现最优形状几乎相同,但是稳定化方法可以节省大量计算时间.