论文部分内容阅读
分形插值曲面(FIS)就是由分形插值函数(FIF)在迭代函数系(IFS)或递归迭代函数系(RIFS)作用下生成的图象.对于FIS,有很多文献给出了 FIS的构造,并研究了它的维数、光滑性等,获得了相关的许多结果.本文对于数据集{(i/n,j/n,xi,j);i,j=0,1,…,N}上的二元分形插值曲面(BFIS)进行了探讨.针对 IFS([0,1]2×R,ωi,j),其中ωi,j=(Li,j,Fi,j)[0,1]2→[i-1/n,i/n]×[j-1/n,j/n];Fi,j(x,y,z)= ai,jx+bi,jy+ci,jxy+dz+fi,j,文献[1]给出 了它的吸引子 BFIS 的Minkowski维数估计公式dimM Grf= 3 log|d|/logn.本文改进了这一方法,采用了 ε柱覆盖的方法,通过适当地放缩,以便减少误差,得出了 FIS的较为精确的盒维数估计公式.并且我们研究了 FIF的分数阶微积分的性质,获得了一些结果.论文从以下几部分展开:第一章绪论,我们介绍了 FIF及FIF分数阶微积分的背景及现状.第二章预备知识,根据我们研究的相关问题,给出了相关FIS及分数阶微积分的预备知识和概念.第三章研究FIS的盒维数.以FIF的图象的维数为研究基础,进一步对FIS的盒维数进行了探讨,得出了主要结果:定理3.3设G是IFS(2.3)的吸引子,假设结点xi,yj在I2上均匀分布,即(?)i,j ∈ {0,1,2,…,N},xi =i/N,yj =j/N.若对(?)p ∈{0,1,2,…,N},v=(?)|sip|>1 且{(xi,yp,zip)|i = 0,1,2,…,N}不共线;对(?)q ∈ {0,1,2,…,N},v=(?)|sqj|>1且={(xq,yj,zqj)|j=0,1,2,…,N}不共线,则dimBΓ(G)= max{2 + log v/N,2 + log v/N}.否则,dimBΓ(G)= 2.给出了一个研究FIS的盒维数的更好的方法,寻求一种适合估计FIF曲面维数的计算方法.第四章主要针对FIF来探究FIF的分数阶微积分问题,得到了一些结果:定理4.2设f(x)是由(4.1)确定的FIF,令则f(x)是由{(Li(x),Fi(x,y))}i=1N确定的FIF,其中对i=1,2,…,N,有Fi,v(x,y)= aivciy+qi,v(x),第五章总结与展望.根据本文所做的工作,经过探究,得到FIS的维数估计公式,在FIF的分数阶微积分方面也得出两个重要的结论,并提出一些需要进一步探究的问题.